Математическая модель линейного асинхронного двигателя на основе магнитных схем замещения

Линейный асинхронный двигатель приведен на рис.2. Расчетная модель представляет собой совокупность развернутых схем замещения магнитной и электрических цепей с частично постоянной аппроксимацией параметров в пределах зубцового деления, которое принимается за основу при разбиении магнитной цепи на участке [1].

Основные допущения:

Ø магнитная проницаемость стальных участков магнитопроводов индуктора и подвижной части (зубцов, ярма) . В магнитной схеме замещения (рис. 1б) учитывается только магнитные сопротивления воздушных участков зазора  и шунтирующих зон (...и...);

Ø в шунтирующих зонах как под сбегающим, так и набегающим краем индуктора (статора) учитывается по четыре зубцовых деления подвижного элемента (ротора);

Ø число полюсов индуктора 2р=2; трехфазная однослойная обмотка индуктора с соединением в звезду без нулевого провода;  число катушек в катушечной группе равно двум (q=2); намотка катушки производиться в один провод (= 1) и число параллельных ветвей а=1.

Для «n» - го участка схемы замещения запишем основные уравнения:

1.  Баланс магнитного напряжения магнитной цепи (рис.1)

, ,  – контурные магнитные потоки;

,  – магнитные сопротивления воздушных участков;

 – магнитодвижущая сила, созданная статорным током , протекающим по всем проводникам паза ();– в шунтирующих зонах;

 — М.Д.С. тока ротора в стержне ().

  

                                                         (1)

2.  Уравнение баланса напряжений электрической цепи ротора

                                                                           (*)

Выразим производные во времени через конечные разности:

                                               ;

где    n – номер зубцового деления;

          k – номер шага разбиения по времени.

В формуле (*) скорость подвижного элемента принимается равным  и в пределах «k» интервала считается постоянным.

Производные по пространственной координате «» выразим через центральные конечные разности:

                                               ; 

С учетом вышеприведенных замечаний уравнение (*) примет следующий вид:

(2)

Исключим из уравнения (2) токи в роторе, для этого подставим (1) в уравнение (2):

 

 

 

Раскроем скобки:

Преобразуем уравнение:

                               (3)

Баланс напряжений электрической цепи индукторной (статорной) обмотки

 

Если питается обмотка индуктора от симметричного напряжения, а схема соединения звезда без нулевого провода, то

 (4)

где,

;

 

С учетом шага разбиения по времени Δt в к-й момент времени:

;

 

Уравнения (4), при выражении производных по времени через конечные разности, примут следующий вид:

         (5)

 

При принятых допущениях в системе уравнений будет 23 неизвестных (20 – контурных потоков 3 – тока в фазах обмотки), поэтому решение определяется в матричной форме:

, отсюда .

Обозначим , где ; ;  и.

Для примера рассмотрим формирование нескольких элементов матрицы (Рис.3) для  к=1, при следующих параметрах:

1/Гн; 1/Гн;

1/Гн; 1/Гн;

 Ом;  Ом; Гн; Гн;  с;                Гн;  кг.

 

При n=1, уравнение (3) примет вид:

, где

;

 

где , ,

 

При n=5:

где ; ; .

;

;

;

где ; ; ;  и .

 

Элементы матриц А, Х, С для n=21 и n=22 формируются из системы уравнений (5).

; ; ;

Для строки n=23  или в матричной форме  где .

 

 

 

Рис.3. Общий вид элементов матрицы А

Для к=1 и к=2 в табл.1 приведены  , , , , , . Кроме того, даны значения токов в стержнях ротора , определенных по уравнению (1) и усилия  на каждом зубцовом делении.

 

Электромагнитное усилие на зубцовом делении определиться по следующей зависимости:

.

Суммарное усилие, действующее на подвижный элемент (ротор):

Линейная скорость подвижного элемента:

 

Результаты расчета  и приведены на рис.4.

 

 

Рис.4. Зависимость электромагнитного усилия и скорости

подвижного элемента от времени при пуске.

 

Таблица 1.

 

Список литературы:

 

1.      Сарапулов Ф.Н., Емельянов А.А. и др. Исследование электромеханических переходных процессов линейного асинхронного короткозамкнутого двигателя. – Электричество, 1982, №10.