Рассматривается вязкоупругая цилиндрическая панель со сторонами 
и 
, радиусом кривизны срединной поверхности 
, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа со скоростью 
.
Интегральную модель, связывающую напряжения в срединной поверхности 
, 
, 
и деформации 
, 
, 
, согласно модели Больцмана-Вольтерра примем в виде [1]
, (1)
где 
— модуль упругости; 
— коэффициент Пуассона; символ (xy) указывает, что остальные соотношения получаются круговой перестановкой индексов; 
— интегральный оператор с ядром релаксации 
.
Геометрическую модель, связывающую деформации в срединной поверхности , , и перемещения 
, 
, 
, примем в виде [2]
(2)
Геометрические соотношения же между деформациями 
и угловыми перемещениями 
, 
примем в виде [2]:
(3)
где , , определяются из соотношений (2).
С учетом (1) и (3) изгибающие, крутящие моменты
, 
, 
и поперечные силы 
, 
имеют вид
(4)
где 
(Миндлин), 2/3 (Уфлянд) и 5/6 (Рейсснер) [3].
Подставив (1), (3) и (4) в уравнения [2] получим следующую систему уравнений:
где 
.
В случае линеаризированного течения газа вдоль панели, по которой распространяются упругие волны, нормальная составляющая скорости имеет вид [4]
и, следовательно, избыточное давление 
приобретает вид [4]
Здесь æ — показатель политропы, 
и 
— давление и скорость в невозмущенном газе.
Далее введя функцию напряжений 
в срединной поверхности в виде [2]
для определения поперечного прогиба 
, функции напряжений 
и угловых перемещений 
, 
, получим систему уравнений типа Кармана, вида
(7)
где
.
Пусть все стороны вязкоупругой цилиндрической панели шарнирно оперты. Удовлетворяя граничным условиям задачи, выберем выражения для прогибов и угловых перещений на основе многочленной аппроксимации в виде:
(8)
Подставляя первое выражение (8) в четвертое уравнение системы (7) и приравнивая в обеих частях этого уравнения коэффициенты при одинаковых гармониках тригонометрических функций, находим функцию усилий [5]:
(9)
где коэффициенты 
, 
, 
, 
, 
определяются из [5];
, 
.
Подставляя (8) и (9) в (7) и выполняя процедуру Бубнова-Галеркина, после введения следующих безразмерных величин
и сохранения прежних обозначений, относительно неизвестных 
, 
, 
получим:
,
, (10)
,
где
; 
; 
; 
- число Маха [4]; 
; k=1, если k нечетное, если же k четное или равно 0, то k=0 и k=0; коэффициенты 
,
определяются из [5].
Изучено влияние вязкоупругих свойств материала панели на её динамическое поведение. На рис.1 представлена зависимость прогиба от времени срединной точки упругой (А=0 — кривая 1) и вязкоупругих панелей (А=0.03, 0.05, 0.07 — кривые 2,3,4).
Рис. 1. Зависимость прогиба от времени при A=0 (1); 0.03 (2); 0.05 (3); 0.07 (4)
Как видно из рисунка, учет вязкоупругих свойств материала панели приводит к затуханию колебательного процесса.
Также исследовано влияние реологического параметра . Анализ полученных здесь результатов показывает, что уменьшение значения этого реологического параметра приводит к интенсивному уменьшению амплитуды и сдвигу фаз вправо, следовательно, к уменьшению частоты колебаний.
Литература:
- Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация. — М.: Высшая школа, 1976. — 276 с.
- Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. — М.: Наука, 1972. — 432 с.
- Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. — М.: Наука, 1974. — 448 с.
- Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. — М.: Физматгиз, 1961. — 340 с.
- Эшматов Х. Интегральный метод математического моделирования задач динамики вязкоупругих систем: Дис... на соис. учен. степ. док. техн. наук. — Киев, 1991. — 337 с.
