В теории обучения решению задач важное место отводится определению их роли в обучении математике. Л.М. Фридман справедливо считает, что общее умение, общий подход к решению математических задач должен сохраниться у каждого выпускника школы надолго, так как он является, по сути, «моделью разумного подхода к решению любых – бытовых, практических, технических и иных задач, которые будут повседневно встречаться человеку на протяжении всей его жизни. Ведь жить – это значит решать задачи!» [4,с.59]. Таким образом, формирование у учащихся общего подхода к решению задач, общего умения решать математические задачи, усвоение обобщенного способа решения задач в современной дидактической системе рассматривается как одна из целей обучения математике.
В большинстве исследований подчёркивается роль задач в изучении теоретического материала, задачи выступают основным средством развития математического мышления, творческой деятельности школьников, указывается, что в процессе решения задач формируется не только логическая, эвристическая, алгоритмическая составляющие мышления, но и многие нравственные качества учащихся. Таким образом, решение задач является важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности и самостоятельность мышления. Однако можно отметить, что в теории обучения решению задач недостаточно актуализирована роль задач в создании условий, обеспечивающих процессы самоопределения и самопознания личности.
Можно отметить две основные причины низкой эффективности сложившейся системы обучения решению задач. Первая причина является чисто психической. Массовые обследования показали, что основными мотивами решения задач учащимися являются внешние мотивы избегания неудачи (чтобы не ругали родители и учителя), оценки, благополучия или престижа. Исследователи и педагоги-практики отмечают, что у подавляющего большинства учащихся решение задач не вызывает большого интереса, они пассивно относятся тому процессу и многие из них предпочитают списывать с доски или у товарища. Во многом характер учебной мотивации зависит от организации процесса обучения решению задач, существующая организация не способствует формированию глубокого внутреннего интереса к процессу решения задач у большинства учащихся.
Вторая причина неудач в обучении решению задач заключается в том, что решение задач – есть сложная умственная деятельность, и для того, чтобы сознательно овладеть ею, надо, во-первых, иметь ясное представление о ее объектах и сущности, во-вторых, предварительно овладеть теми элементарными действиями и операциями, из которых состоит эта деятельность, и, наконец, в-третьих, знать основные методы ее выполнения и уметь ими пользоваться.
Исследование учеником собственной деятельности в процессе решения задачи и анализ способов действий в ходе этой деятельности, безусловно, должно способствовать развитию интереса к задачам, образованию внутренних мотивов их решения, овладению элементарными действиями, операциями и общими способами решения задач.
Если принять во внимание тот факт, что решение задач есть сложная умственная деятельность, у педагога, учителя математики, в связи с этим возникает естественный вопрос: каким образом организовать процесс обучения, чтобы умственная деятельность являлась и учебной. Всякая умственная деятельность, в том числе и решение задачи, влияет на субъект, изменяет его, образует приращение субъектного опыта. И только в том случае, если эта умственная деятельность становится предметом целенаправленного анализа, рефлексии, можно говорить не о стихийном, а управляемом процессе обучения. Умение ребенка проводить рефлексивные исследования задачи играет существенную роль в обучении решению задач. Под рефлексивным исследованием задачи понимается исследование учащимся собственной деятельности по решению задачи: последовательности действий, их правильного выполнения, приобретенного в ходе решения опыта. Базируясь на теории учебной деятельности, разработанной В.В. Давыдовым, можно отметить тот факт, что именно рефлексивное исследование придает математической задаче характер учебной задачи, дополняя ее целым рядом учебных заданий. Сущность и актуальность данного вопроса можно проиллюстрировать известным примером В.В. Давыдова: «Дети, поднимите руки, кто сегодня научился решать задачи в два действия?.. Вижу, почти все научились... А ты, Ваня?» - «А я это и так знал!» - буркнул Ваня, который в начале урока обнаружил полную неспособность решать задачи нового типа, но за 45 минут урока состояние неумения перешло в состояние умения: новое умение «овладело ребёнком» незаметно для него самого. Учитель-то Ваню научил, но учился ли при этом сам ребёнок? Себя, почему-то не справлявшегося с задачей, и себя, почему-то решившего задачу, он просто не заметил. Для задачи - никакого ущерба: она была решена. А для ученика? Каждый следующий класс задач приведёт его в такой же тупик, из которого его снова и снова будет выводить учитель. К экзамену школьник может прийти подготовленный. Но будет ли он готов жить в постоянно меняющемся мире, предполагающим умение постоянно менять себя?» [1, с.243].
Одна из проблем теории и практики обучения решению задач связана с заключительным этапом решения задачи – с её исследованием, развитием, преобразованием. Большинство учащихся средней школы (и даже многие учителя математики) считают работу над задачей оконченной, как только ими получен правильный результат (совпадающий с ответом, данным в учебнике, или одобренный учителем); если ответ верен, о данной задаче можно и нужно забыть. Таким образом, учащиеся (а также многие учителя и авторы учебных руководств) забывают об обучающем характере каждой задачи, решаемой в процессе обучения, о том, что всякая решаемая ими задача должна учить их математической деятельности, обогащать их знания и опыт, развивать умение ориентироваться в различных проблемных ситуациях. Этот вопрос представляет особый интерес. Дело в том, что исследование задачи надо рассматривать как центральный этап рефлексивного исследования задачи. Первый этап связан с поиском решения (поисковый этап), а третий – собственно с рефлексивным исследованием. Центральный этап, связанный с исследованием и развитием задачи – исследовательский этап. Исследовательский этап, несомненно, является подготовительным перед собственно рефлексивным исследованием задачи, а в некоторых случаях, даже и началом рефлексивного исследования. Обоснование необходимости этого этапа можно найти во многих работах, посвящённых обучению решения задач. Вот лишь некоторые примеры. Вначале из наставлений учащимся.
«Если вы хотите по-настоящему научиться решать задачи, то анализируйте решения каждой мало-мальски новой и более или менее сложной задачи. Не жалейте на это времени и сил: всё это в будущем окупится. Для школьника решить данную задачу – не главная цель ... главное научиться чему-то, связанному с изучением математики, узнать и усвоить новые математические факты, овладеть новыми математическими методами, накопить определённый опыт, научиться мыслить. Итак, главная наша цель – учебная, и поэтому каждая задача должна вас обучать чему-то полезному, новому знанию или умению» [5,с.36]. И особенно для нас важно: «... решив задачу, оглянись назад и изучи задачу и найденное решение в целом, установи, что полезно запомнить, а что можно забыть...» [там же, с. 15]; «...заглянув в ответ, вы считаете свою работу над задачей законченной. Вы даже не отдаёте себе отчёта в том, как получено ваше решение, что вам нужно было знать, чтобы найти это решение... Итак, вы не учитесь на задаче, и в этом одна из причин того, что вы не умеете решать задачи» [2,с.21]. «Стремясь извлечь из своих целей максимальную пользу, старайтесь подметить в задаче, которую вы решаете, то, что сможет пригодиться и в будущем при решении других задач» [3, с. 13]; «исследуйте ближайшую окрестность - вы нашли на дереве спелое и вкусное яблоко, но ведь их может быть и несколько» [там же, с.273].
Авторы этих рекомендаций (Д.Пойа, Л.М. Фридман, М. Колягин, В.А. Оганесян) отмечают необходимость перехода от математической задачи к учебной и фактически рассматривают исследование задачи как средство этого перехода: «Решение задачи – это ваша небольшая научно-исследовательская работа. Старайтесь при решении задачи почувствовать себя в роли учёного. Изобретайте новые решения и новые задачи, овладевайте умением работать творчески. Старайтесь подойти к задаче и её решению с разных сторон» [2, с.66].
Возникает вопрос о дидактическом смысле исследовательского этапа в работе над задачей. Очень важным и поучительным моментом работы над задачей является возвращение к уже решенной задаче. При вторичном изучении решения можно найти дополнительные подтверждения правильности полученного результата, а обобщение полученных результатов является ценным материалом при решении других задач. Исследование задачи позволяет не только уяснить механизм ее решения, но и повышает умственную активность учащихся, стимулирует интерес к решению задач.
Известные педагоги предлагают вводить в этап исследования не только составление задачи по некоторым элементам, общим с исходной задачей, но и составление обратной и её решения, составление аналогичной задачи, решение или составление задачи, обобщающей по тем или иным параметрам исходную. Легко заметить, что здесь указаны уже не только результаты исследовательского этапа – новые задачи, новые решения, но и средства этого исследования – обобщение, аналогия. Сюда естественно было бы отнести и конкретизацию.
На современном этапе проблема развития самостоятельности мышления учащихся в процессе обучения математике является острой, еще не разрешенной. Система учебников математики и подбор задач в них, а также методика уроков оставляют крайне мало возможностей для проявления инициативы и творчества обучающихся, для саморазвития его знаний, для того, чтобы изучение науки выступало поистине «игрой его интеллектуальных сил», учебник играет огромную роль не только в образовании, но и во всей культуре. Он содержит в себе образцы отношения субъекта к задаче, формирует стиль и культурные нормы деятельности. Сегодня упражнения по самому составлению задач, уравнений, систем и т.п. исчезают из стабильных учебников, но, коль скоро подобные задания полностью отсутствуют в практике обучения, у рядового ученика умение составлять задачи само по себе и не возникнет. Поэтому несомненным остается тот факт, что творческие задания необходимы для умственного развития учащихся и должны встречаться на каждой странице учебника математики. Рассматривая математическое творчество как высшую форму самостоятельности мышления учащихся, особый смысл придается этапу исследования задачи, обучение которому должно естественным образом войти в практику обучения математике каждого ученика, а не только наиболее способного; войти в содержание урока математики, а не внеклассных факультативных занятий. Эффективность обучения решению задач при этом будет гораздо выше, так как составление решения одной тактически гораздо поучительней, чем решение готовых задач того же вида, причём первое осуществляется, в общем, за меньшее время.
Литература:
1. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. – М., ИНТОР. – 1996.– 544 с.
2. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. Учись решать задачи. Пособие для учащихся VII-VIII классов. – М., Просвещение, 1980. – 96 с.
3. Пойа Д. Математическое открытие. – М., Наука, 1972. – 448 с.
4. Фридман Л.М. Методика обучения решению математических задач. //Математика в школе. – 1991. – №5. – С.59-63
5. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. Книга для учащихся. – М., Просвещение, 1984. – 175 с.
