Рассмотрены обратные арифметические операции как отрицательные значения операционного параметра в общем действии a[n]kh. С использованием двух аксиом знака расширено множество натуральных операций до множества целых операций. Показано, что все 7 арифметических операций могут быть представлены как числовые значения операционного параметра общего арифметического действия. Установлено свойство двойственности, имеющее место для ассоциативных и коммутативных операций при n= 1, 2, и позволяющее единообразно выводить свойства операций с целыми числами, дробями, логарифмами и корнями. Показана упорядоченность арифметических операций, соответствующая упорядоченности целых чисел.
Ключевые слова: обратные арифметические операции, аксиоматика общего действия, отрицательный номер операции, итерационный параметр, расширение числа операций
Введение
В работе [1] предложено представление прямых арифметических операций в числовой форме, согласно которого операциям сложения, умножения и возведения в степень поставлено в соответствие положительные целые числа 1, 2, 3 , соответствующие номеру операции n в арифметическом выражении a[n]kh. Это выражение можно также рассматривать как запись общего арифметического действия, имеющего четыре параметра: начальный, операционный, итерационный и шаговый, обозначенные буквами a, n, k,h, соответственно. Общее арифметическое действие определено на расширенном множестве натуральных чисел, включающем число ноль.
Общее действие представляет собой рекурсивную функцию, представленную в инфиксной форме и определяемую набором итерационных и начальных аксиом. В аксиомах используется понятие функция следования, ставящая в соответствие своему аргументу – натуральному числу x следующее натуральное число x', и числовые константы 0 – ноль и 1 – единица, связанные соотношением 0' = 1, а также обозначение en - начальное значение n-ой операции. При этом используется соглашение по умолчанию, что при значении итерационного параметра k= 1 этот параметр может опускаться.
Итерационными аксиомами, определяющее общее действие, являются следующие равенства.
I1 a[1] 1 1 = a' . I1' a + 1 = a' .
I2 a[1] 1 h' = (a[1] 1 h)' . I2' a + h' = (a + h)'.
I3 a[n']1 h = en [n] a h . I3' a[n+1]h = en [n] a h .
I4 a[n] k' h = (a [n] k h) [n] 1 h. I4' a[n] k+1 h = (a [n] k h) [n]1 h .
Начальными аксиомами являются следующие равенства.
N1 a[1]1 0 = a . N1' a + 0 = a .
N2 a[0]k h = a .
N3 a[n]0 h = a .
Аксиомы со штрихом отличаются от аксиом без штриха лишь символьным обозначением “+” операции сложения, соответствующей значению операционного параметра n = 1, и основным свойством начального значения операции en, выраженной аксиомой I5' .
В работе [1] исследованы общие и частные свойства общего действия при неотрицательных значениях его параметров.
Было бы интересно в рамках предложенного подхода рассмотреть обратные операции - вычитание, деление и логарифмирование, а также извлечение корня - и с другой стороны расширить множество значений операционного параметра в общем арифметическом действии до целых чисел. Для этого необходимо ввести понятие знака числа и дать определяющие его свойства аксиомы.
Аксиомы отрицательных чисел
Наряду с натуральными или положительными целыми числами вида n = 1, 2, 3… можно рассматривать и отрицательные целые числа вида -n = -1, -2, -3… , которые получаются из положительных чисел приписыванием впереди знака минус: “–”. Таким образом, для каждого положительного числа существует, или, то же самое, можно построить, отрицательное число.
Множество положительных, отрицательных целых чисел и числа нуль составляет множество целых чисел и обозначается как Z. Таким образом, в понятиях теории множеств [2] Z равно объединению множеств N, –N и {0}, т.е. Z = –N È {0} È N .
Числа вида –n = -1, -2, -3,… можно также рассматривать как результат применения операции изменения знака “-” к натуральному числу n. К отрицательному числу -n также можно применить операцию “–”. Принимается, что в этом случае получается исходное число n. Аналогично для отрицательного числа –n двойное применения операции отрицания дает в результате то же отрицательное число -n.
Первая знаковая аксиома целых чисел может быть записана как
Z1 -(-z)) = z .
Двукратное изменение знака числа z приводит к тому же самому числу z. Таким образом, множество значений знака числа бинарно: либо знака у числа нет - в этом случае число называется положительным, либо знак есть - в этом случае число называется отрицательным. Применение операции изменения знака, выполненное четное число раз, не изменяет знак исходного числа, а выполненное нечетное число раз, изменяет его.
Вторая знаковая аксиома целых чисел может быть записана как
Z2 -z + z = 0
и выражена словами: сумма противоположных чисел равна нулю.
Определение итерационного параметра при отрицательных его значениях
Расширим область определения итерационного параметра общего действия a[n]kh до множества целых чисел.
Формула для суммы m+k итерационных параметров m и k из [1, с. 22]
a[n]m+ k h = (a[n]m h)[n]k h
при m = -k может быть записана как
a[n]-k + k h = (a[n]-k h)[n] k h . (1)
Левая часть (1) в силу аксиомы Z2 и аксиомы N3 (a[n]0 h= a) будет равна
a[n]-k + k h = a[n]0 h = a
и, соответственно, (1) перепишется в виде
(a[n]-kh)[n]kh = a, (2)
что дает определение итерационного параметра при отрицательных его значениях.
Определение обратных операций
Пусть для общего арифметического действия известен результат c, но не известен начальный параметр x. Тогда говорят, что x определяется уравнением
x[n]kh = с . (3)
В силу формулы (2) корень уравнения (3) может быть представлен как
x= с[n]-kh,
а выражение с[n]-kh может быть названо обратным арифметическим действием.
Таким образом, можно сказать, что прямые арифметические операции это общее арифметическое действие при натуральных значениях итерационного параметра, а обратные операции - при отрицательных значениях этого параметра.
Учитывая, что обратные арифметические операции традиционно определяются соотношениями
(c -h) + h = c,
(c / h) * h = c,
hloghc = c,
соответственно, для вычитания, деления и логарифмирования, которые могут быть переписаны в обозначениях общего арифметического действия при k= 1 как
(c - h)[1]h = c,
(c / h)[2]h = c,
loghc[3]h = c,
можно поставить в соответствие знакам обратных арифметических операций -, /, log соответствующие числа прямых операций и значение итерационного параметра k, равного –1.
Ниже представлена таблица соответствия символьного и числового представления обратных операций
|
Номер обратной операции |
1 |
2 |
3 |
… |
n |
… |
|
Название обратной операции |
вычитание |
деление |
логарифми-рование |
… |
n-я опе-рация |
… |
|
Символьное обоз-начение операции |
a-h |
a/h |
logha |
… |
нет |
… |
|
Числовое обоз-начение операции |
a[1]-1h |
a[2]-1h |
a[3]-1h |
… |
a[n]-1h |
… |
Расширение множества натуральных операций до множества целых операций
По аналогии с отрицательным числом операций введем отрицательный номер операции. Примем по определению, что
a[-n]h= a[n]-1h , (4)
то есть действие с отрицательным номером операции есть действие с положительным ее номером и значением итерационного параметра k = -1.
В случае, когда и операционный параметр отрицателен и итерационный параметр также отрицателен, примем соглашение, что
a[-n]-kh = a[n]kh . (5)
Правило знаков номера операции n и числа повторений операции k можно записать в виде таблицы
|
n\k |
-1 |
1 |
|
-1 |
1 |
-1 |
|
1 |
-1 |
1 |
Заметим, что цепочка соотношений
a[-n]-k h = a[n]-(-k) h = a[n]k h
и цепочка соотношений
a[-n]-kh = a[-(-n)]h = a[n]kh
соответствуют второй знаковой аксиоме Z2 как для итерационного параметра k, так и для номера операции n.
Правило знаков может также быть записано в виде двух положений.
1. Знак операционного параметра можно изменить одновременно с изменением знака итерационного параметра без изменения результата действия.
2. Знак итерационного параметра можно перенести на операционный параметр и наоборот.
Определение обратной операции для шагового параметра при n= 1, 2
Рассмотрим уравнение относительно шагового параметра
a[n]x= с . (6)
Для n = 1, 2 в силу коммутативности операций сложения и умножения это уравнение эквивалентно уравнению
x[n]a= с,
и решение его представляется аналогично решению для начального параметра в виде
x = с[n]-1 a
или в соответствии с правилом знаков (4) выражением
x= с[-n]a .
В этом случае одна и та же обратная операция применяется как к начальному параметру, так и к шаговому параметру общего действия.
В случае, когда n ³ 3 (возведение в степень и выше), прямая операция является некоммутативной, т.е. в общем случае при произвольных a, n, h
a[n]h¹ h[n]a ,
поэтому обратная операция для шагового параметра не равна обратной операции для ее начального параметра.
Определение обратной операции для шагового параметра при n= 3
Пусть имеем уравнение относительно шагового параметра для операции возведения в степень
a[3]x= с, (7)
что эквивалентно в обычных обозначениях уравнению
xa = с.
Решением уравнения (7) является выражение
x= (1/a)[3]с . (8)
Действительно, подставляя выражение (8) в уравнение (7) и используя формулу a[n+1](b[n+1]c) = (a*b)[n+1]c из работы [1, с. 25], имеем для левой части (7) при n = 2
a[3]((1/a)[3]с) = (a*1/a)[3]с = 1[3]с = с ,
что обращает (7) в верное равенство.
В привычных обозначениях решение уравнения (7) записывается как
x= aÖс . (9)
Из выражений (8) и (9) следует, что
aÖс = (1/a)[3]с .
Таким образом, операция определения величины шагового параметра по известным значениям начального параметра a и результата операции с, называемая традиционно извлечением корня a-й степени из числа с, выражается через прямую операцию с обратным значением начального параметра прямой операции.
Ниже представлена единая таблица названий и обозначений прямых и обратных операций в числовом и символьном обозначениях при значениях итерационного параметра k= 1 (по умолчанию он не пишется) и k = -1.
|
Номер операции |
Название операции |
Символьное обозначение |
Числовое обозначение операции (k = 1) |
Числовое обозначение (k = -1) |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
n |
n-я операция |
нет |
a[n]h |
a[-n] -1 h |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
4 |
тетрация |
ah |
a[4]h |
a[-4] -1 h |
|
3 |
возведение в степень |
ha |
a[3]h |
a[-3] -1 h |
|
2 |
умножение |
a*h |
a[2]h |
a[-2] -1 h |
|
1 |
сложение |
a+h |
a[1]h |
a[-1] -1 h |
|
0 |
нулевая |
нет |
a[0]h |
a[0] -1 h |
|
-1 |
вычитание |
a-h |
a[-1]h |
a[1] -1 h |
|
-2 |
деление |
a/h |
a[-2]h |
a[2] -1 h |
|
-3 |
логарифмирование |
logha |
a[-3]h |
a[3] -1 h |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
-n |
-n-я операция |
нет |
a[-n]h |
a[n] -1 h |
|
… |
… |
… |
… |
… |
Таким образом, все 7 известных арифметических операций представлены как определенные значения номера операции и для операции извлечения корня – значения начального параметра в общем арифметическом действии.
В рамках рассмотрения обратных операций приобретает однозначность выбор начала нумерации операций сложения, умножения, возведения в степень и далее. Нумерацию операций следует начинать не с 0, как сделано в работе [3], а с 1 как предложено в работе [4].
На основе предложенных в [1] аксиом и аксиом знака Z1, Z2 могут быть получены известные свойства обратных операций. Так, например, если к обеим частям равенства из [1, с. 25], верного при n = 1, 2
(a[n+1]c)[n](b[n+1]c) = (a+ b)[n+1]c
применить обратную операцию, то получится равенство
((a[n+1]c)[n](b[n+1]c)) [n+1] -1c = ((a+ b)[n+1]c) [n+1] -1c .
Левая часть равенства при a= x[n+1]-1c и b= y[n+1]-1c будет равна
(x[n]y)[n+1]-1c, а правая часть равенства преобразуется как
(x[n+1] -1c + y[n+1] -1c) [n+1] 1-1c = x[n+1] -1c + y[n+1] -1c .
Окончательно, приравнивая правую и левую части, имеем
(x[n]y)[n+1] -1c = x[n+1]-1c + y[n+1] -1c.
Это тождество при n= 1 соответствует равенству
(x+y)/c= x/c+y/c - известное свойство дроби
и при n = 2 соответствует равенству
(x[2]y)[3]-1c= x[3] -1c+ y[3] -1c , что в привычных обозначениях
log c x*y = log c x + log c y
выражает одно из свойств логарифмов.
Необходимо отметить, что общее действие определено для всех значений своих параметров только в неотрицательном диапазоне изменений этих параметров и в смысле теории алгоритмов [3] оно представляет собой при этих значениях параметров пример общерекурсивной функции. В тоже время, если какой либо параметр принимает отрицательное значение, то общее действие при каких-то значениях других параметров может быть не определено, т.е. при этих условиях общее действие представляет собой частично рекурсивную функцию. Типичный пример: как известно, не существует действительного числа x, такого, что x2 = -1, т.е. выражение (1/2)[3] (-1) не определено.
Также и выражение вида 1[3] –2 h= logh logh 1 не определено.
Таким образом, необходимо всякий раз исследовать вопрос о том, при каких значениях своих параметров общее действие определено и имеет смысл.
Заключение
В рамках общего арифметического действия и с использованием двух аксиом знака показано, что все четыре обратные действия: вычитание, деление и логарифмирование, а также извлечение корня, могут быть представлены как определенные числовые значения операционного параметра общего действия.
Расширено множество значений операционного и итерационного параметров общего арифметического действия с натурального ряда до множества целых чисел.
Показано, что свойства операций с целыми числами, дробями, логарифмами и корнями могут быть единообразно получены из аксиом, определяющих общее арифметическое действие и знаковых аксиом. Отмечено свойство двойственности, имеющее место для ассоциативных и коммутативных операций при n = 1, 2.
Показана естественная упорядоченность арифметических операций с указанием ее начала (нулевая операция) и взаимной обратимости операций сложения и вычитания, умножения и деления, возведения в степень и логарифмирования, соответствующих противоположным числам 1 и –1, 2 и –2, 3 и –3.
Литература:
1. Шустов В.В. Общее действие и некоторые его свойства – М.: Изд. ЛКИ, 2008. – 64с.
2. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. Пер. с англ. Тайманова А.Д. - М.: 1970. - 416с.
3. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. - 2-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит. , 1986.- 386с.
4. Гудстейн Р.Л. Рекурсивный математический анализ. Пер. с англ. А.О. Слисенко. Под ред. Г.Е. Минца. – М.: Наука, 1970 - 472с.
