Работа посвящена численному моделированию задач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин сложной формы при различных моделях вязкости.
Ключевые слова: жесткость вязкоупругих пластин, изгиб, коэффициент Пуассона, объемный модуль упругости, R — функция,полные системы координатных функций.
Математическая модель задач изгиба вязкоупругих пластин описывается уравнением
(1)
Если при формулировке основных физических соотношений используется гипотеза о постоянстве коэффициента Пуассона, изгибающие и крутящие моменты определяются следующими зависимостями:
(2)
где D- жесткость вязкоупругих пластин; 
интегральный оператор с ядрами релаксации R(t), т. е. 
)d
— прогиб пластины;
µ — коэффициент Пуассона; q (x, y, t)-интенсивность внешней нагрузки.
Если же используется гипотеза об упругости объемных деформации, тогда для изгибающих и крутящего моментов справедливы зависимости
(3)
где G=E/2(1+µ) — модуль сдвига; E — модуль упругости; 
— интегральный оператор с ядрами сдвиговой релаксации 
— интегральный оператор, т. е.
K=E/3(1- 2µ) — объемный модуль упругости; h — толщина пластины.
Для получения уравнения движения достаточно вместо q(x,y,t) в уравнение (1) подставить выражение q(x,y,t) — ρh
и получим следующие уравнение колеблющейся тонкой вязкоупругой плиты
(4)
где ρh — масса плиты, отнесенная к единице поверхности.
Уравнения (1) и (4) решаются при соответствующих граничных и начальных условиях
(5)
где
— дифференциальные операторы, зависящие от граничных условий; Г — граница области; 
и 
начальные значения.
Решения уравнений (1) и (4) ищем в виде
W(x,y,t)=
(6)
где 
- полные системы координатных функций (полиномы Чебышева, степенные, тригонометрические, сплайны Шенберга и т. д.) СКФ, удовлетворяющие всем граничным условиям, которые строятся с помощью метода R — функций В. Л. Рвачева [1]; 
— неизвестные функции, являющиеся функциями времени t.
После применения метода Бубнова — Галеркина решение уравнения (1) и (4) сводится к решению системы интегральных (ИУ) и интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ) относительно функций времени. Отметим, что при решении задач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин сложной формы используется ортонормированные СКФ по бигармоническому и единичному операторам соответственно. Здесь использование ортонормированной СКФ существенно облегчает решение систем интегральных и ИДУ.
В случае задачи изгиба после ортонормированные СКФ по бигармоническому оператору основные разрешающие уравнений приводятся к автономным системам ИУ. В случае задачи колебаний, основные разрешающие уравнений с помощью метода разложения собственных форм колебаний, приводятся к автономным системам ИДУ. Для решения автономным систем интегральных и ИДУ применяется численный метод, основанный на использовании квадратурных формул [2]. На основе этого метода описан алгоритм численного решений.
Исследована сходимость вычислительного алгоритма и показана достоверность результатов, полученных с помощью комплекса программных средств путем их сопоставления с точным решением или решениями, полученными другими авторами.
Рассмотрим задачи изгиба вязкоупругой пластины (рис.1). Пусть пластина, материал, который характеризуется упругими объемными деформациями, жестко защемлена по всему контуру и находится под действием равномерно распределенной нагрузки (q=1). Исследуется характер поведения прогиба W, изгибающих 
, 
и крутящего 
моментов в зависимости от изменение границы области. В качестве ядра сдвиговой релаксации используется ядро R(t)=ε
.
Уравнение геометрии области для пластины, представленной на рис.1, имеет вид:
Рис. 1.
Ω=(((Ω 1
(Ω 3 Ω 5)))
(Ω 2 (Ω 4 Ω 6))) Ω 7
где Ω 1 =(a2-x2)/2a, Ω 2 =(b2-y2)/2b,
Ω 3 =((x+a)2+y2-R2)/2R, Ω 4 =(x2+(y+b)2-R2)/2R
Ω 5 =((x-a)2+y2-R2)/2R, Ω 6 =(x2+(y-b)2-R2)/2R, Ω 7 =(x2+y2-R2)/2R
— оператор логический конъюнкции нулевого порядка.
На рис.2, а показано изменение прогиба во времени (пунктирная линия) в точке с координатами х=0.5; у=0.5, а на рис.2,б — изменение изгибающего и крутящего моментов (пунктирная линия) в той же точке.
а) б)
Рис. 2. а, б
Для сравнения на тех же рисунках (сплошными линиями) показано изменение тех же величин для пластины с постоянными во времени коэффициентом Пуассона и ядром релаксации, совпадающим с ядром Rc(t) для рассматриваемой пластины.
Результаты получены при следующих значениях безразмерных параметров:
Λ=a/b=1; r=R/a=0.2; ε=0.05; β=0.075; µ=0.17
Из рис.2 видно, что если материал вязкоупругих пластин характеризуется упругими объемными деформациями, тогда даже при постоянных внешних нагрузках прогиб, изгибающий и крутящий моменты изменяется, т. е. прогиб и изгибающий момент увеличивается во времени, а крутящий момент уменьшается. Результаты полученные на основе гипотезы об упругости объемных деформаций хорошо согласуются с результатами эксперимента. Однако для простоты в инженерных расчетах часто делается предположение, что коэффициент Пуассона является постоянной во времени величиной. А также результаты получено для пластины с постоянным во времени коэффициентом Пуассона при использовании различных ядер релаксации, в частности, ядер экспоненциального вида, ядер Ржаницына — Колтунова и Абеля. Результаты показывает, когда в качестве ядра релаксации используется ядра Абеля, то с увеличением времени t значение прогиба увеличивается гораздо быстрее. Поставленная задача решена при различных значениях безразмерных параметров. Сравнительный анализ показывает, что частично изменение формы границы области приводит к довольно существенному изменению напряженно-деформированного состояния пластин.
Далее рассмотрим вынужденные колебания жестко защемленных вязкоупругих пластин (рис.1) и находящихся под действием равномерно распределенной нагрузки при начальных условиях W|t=0=0, Wt|t=0=0. В качестве ядра сдвиговой релаксации используется экспоненциальное ядро.
Рис. 3.
Результаты получены при следующих значениях безразмерных параметров:
Λ=a/b=1; r=R/a=0.2; ε=0.05; β=0.075; µ=0.17
На рис.3 показано изменение прогиба пластины W(0.5;0;t) во времени t (пунктирными линиями), полученные на основе гипотезы об упругости объемных деформаций. Для сравнения сплошными линиями показано изменение прогиба пластины W(0.5;0;t), полученное на основе гипотезы о постоянстве коэффициента Пуассона. Из рисунка видно, что учет упругости объемных деформации приводит к уменьшению амплитуды колебаний, а процесс затухания происходит медленно. Отметим, что при ε=0 процесс колебаний вязкоупругих пластин совпадает с процессом колебаний упругих пластин. Интересно отметить, что при ε<0.001 мы фактически рассматриваем процесс колебаний упругой пластины, и надо подчеркнуть, что при ε=0,1 процесс затухания колебаний происходит быстрее, чем ε=0,05 и ε=0,001.
Задача решена при различных значениях безразмерных параметров, подробно исследовано влияние учета вязкоупругих свойств материала на амплитуду и частоту колебаний в зависимости от внешней нагрузки и граничных условий. Учет вязкоупругих свойств материала пластинки приводит к снижению амплитуды колебаний и вызывает ее затухание по экспоненциальному закону. При затухании колебаний огромную роль играет реологический параметр ε.
Численные результаты показывает, что выбор той или иной гипотезы при формулировке физических соотношений приводит к довольно существенному изменению напряженно-деформированного состояния пластин.
На основе предложенного алгоритма задач разработан комплекс программных средств, с помощью которых оперативно решаются задачи наследственной теории вязкоупругости для тел с произвольной конфигурацией [3–4].
Литература:
- Рвачев В. Л., Курпа Л. В. R-функций в задачах теории пластин. Киев: Наукова думка.1987.176 с.
- Бадалов Ф. Б. Методы решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений наследственной теории вязкоупругости. Ташкент. Мехнат.1987.289 с.
- Назиров Ш. А., Садиков Х. С. Комплекс программных средств для решения краевых задач вариационными методами./Алгоритмы. Ташкент: РИСО АН Уз.Вып.65.1988.
- Садиков Х. С., Халилов А. Ж. Компьютерное моделирование и исследование краевых задач вязкоупругости произвольной конфигурации в среде системе Maple. Материалы научно-технической конференции «Перспективы науки и производства химической технологии в Узбекистане». Навои. 22–24 мая 2014 г. С. 247–248.
