О τ-замкнутых Ω-композиционных и ω-центральных формациях конечных групп

Рассматриваются только конечные группы. Работа посвящена исследованию свойств τ-замкнутых Ω-композиционных и τ-замкнутых ω-центральных формаций конечных групп, где τ — подгрупповой функтор. Установлена взаимосвязь между минимальным τ-замкнутым ω-спутником ω-центральной формации и минимальным τ-замкнутым Ω-спутником Ω-композиционной формации. Для произвольной непустой неединичной τ-замкнутой формации построены τ-замкнутые Ω-композиционная и ω-центральная формации, содержащие .

Ключевые слова: конечная группа, класс групп, формация групп, подгрупповой функтор, Ω-композиционная формация, ω-центральная формация.

Рассматриваются только конечные группы и классы конечных групп. Классом групп называется всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные. Одним из наиболее важных видов классов конечных групп являются формации, введенные в рассмотрение Гашюцем в 1963 году [1]. Формацией называется класс групп, замкнутый относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Основные положения теории формаций конечных групп представлены в монографиях Л. А. Шеметкова [2], А. Н. Скибы [3], Дерка и Хоукса [4] и др. В теории формаций конечных групп существенную роль играют функциональные методы, с помощью которых построены наиболее изученные в настоящее время локальные и композиционные формации (см. [2]), а также их обобщения — соответственно ω-локальные и Ω-композиционные формации. Дальнейшее развитие функциональные методы получили в работах [5, 6], в которых введены в рассмотрение соответственно Ω-расслоенные и ω-веерные формации. Одним из видов Ω-расслоенных формаций являются упомянутые ранее Ω-композиционные формации, а одним из важных видов ω-веерных формаций являются ω-центральные формации. Ввиду теоремы о соответствии ([7], теорема 4) между определенными видами ω-веерных и Ω-расслоенных формаций существует взаимосвязь. Так, например, согласно теореме о соответствии для каждой ω-центральной формации существует совпадающая с ней Ω-композиционная формация.

В настоящей работе изучаются τ-замкнутые ω-центральные и τ-замкнутые Ω-композиционные формации конечных групп, где τ — подгрупповой функтор, в частности, установлена взаимосвязь между минимальным τ-замкнутым ω-спутником ω-центральной формации и минимальным τ-замкнутым Ω-спутником Ω-композиционной формации; для произвольной непустой неединичной τ-замкнутой формации построены Ω-композиционная и ω-центральная формации, содержащие .

Используемые обозначения и определения можно найти в [2–9]. Приведем лишь некоторые из них. Пусть — класс всех конечных групп; — класс всех конечных абелевых групп; — класс всех конечных простых групп; Ω — непустой подкласс класса . Через обозначается класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы ; — объединение классов для всех , где — класс групп. Через обозначается класс всех Ω-групп, т. е. таких групп , для которых . Пусть . Тогда ; , — класс всех групп, у которых каждый главный A-фактор централен. Функции {формации групп}, где ; {формации групп}; {непустые формации Фиттинга}, принимающие одинаковые значения на изоморфных группах из области определения, называются соответственно ΩF-функцией; F-функцией; FR-функцией [5, с. 126]. Формация и для всех называется Ω-расслоенной формацией с Ω-спутником и направлением ; формация для всех называется расслоенной формацией со спутником и направлением [5, с. 127]. Формация (соответственно ) называется Ω-композиционной (композиционной), где для всех [5, с. 128]. Направление φ Ω-расслоенной формации называется b-направлением, если для любой абелевой группы ; r-направлением, если для всех [8, с. 218].

Пусть — множество всех простых чисел; — класс всех конечных p-групп, где ; ω — непустое подмножество множества . Через обозначается класс всех ω-групп, т. е. таких групп , для которых ; — класс всех групп, у которых каждый главный p-фактор централен. Функции {формации групп}, где ; {формации групп}; {непустые формации Фиттинга} называются соответственно ωF-функцией; -функцией; -функцией [6, с. 44]. Формация и для всех называется ω-веерной формацией с ω-спутником и направлением ; формация для всех называется веерной формацией со спутником и направлением [6, с. 45]. Формация называется ω-центральной, где для любого [7, с. 41]. Направление ω-веерной формации называется b-направлением, если для любого ; p-направлением, если для любого [7, с. 38].

Пусть . Ω-спутник Ω-расслоенной формации называется согласованным с ω-спутником ω-веерной формации, если для любого и . Направления и соответственно ω-веерной и Ω-расслоенной формаций называются коллинеарными, если для любого ℙ [7, с. 42].

Отображение , ставящее в соответствие каждой группе некоторую непустую систему ее подгрупп, называется подгрупповым функтором, если для любого изоморфизма группы [9, с. 13]. Формация называется τ-замкнутой, если для любой группы [3, с. 23]. Ω-спутник (ω-спутник) Ω-расслоенной (ω-веерной) формации называется τ-замкнутым, если все его значения являются τ-замкнутыми формациями. Подгрупповой функтор называется регулярным, если выполняются следующие 2 условия:

1) если и N — нормальная подгруппа группы G, то

Подгрупповой функтор τ называется δ-радикальным, если для любой группы G и любой справедливо равенство для всех ℙ [10, с. 95]; Ω-радикальным, если для любой группы G и любой справедливо равенство ; φ-радикальным, если для любой группы G и любой справедливо равенство для всех ; замкнутым относительно композиционных факторов, если для любой группы G и любой справедливо включение [11, с. 76].

Через обозначается τ-замкнутая Ω-расслоенная формация с направлением φ, порожденная множеством групп , — Ω-расслоенная формация с направлением φ, обладающая хотя бы одним τ-замкнутым Ω-спутником, порожденная [11, с. 77]. Через обозначается τ-замкнутая ω-веерная формация с направлением δ, порожденная множеством групп , — ω-веерная формация с направлением δ, обладающая хотя бы одним τ-замкнутым ω-спутником, порожденная [10, с. 96].

Приведем формулировки утверждений, используемых при доказательстве основных результатов статьи.

Лемма 1 (Лемма 2 [10]). Пусть — непустой класс групп, δ — такое направление ω-веерной формации, что , и τ — регулярный подгрупповой функтор. Тогда формация имеет единственный минимальный τ-замкнутый ω-спутник такой, что

,

для всех ,

если .

Лемма 2 (Лемма 1 [10]). Пусть — ω-веерная формация с bp-направлением , , τ — регулярный ẟ-радикальный подгрупповой функтор. Формация являетсяτ-замкнутой тогда и только тогда, когда обладает хотя бы одним τ-замкнутым ω-спутником.

Замечание 1. Если — непустой класс групп, ẟ — -направление ω-веерной формации, , τ — регулярный δ-радикальный подгрупповой функтор, то в силу леммы 2 .

Лемма 3 (Лемма 3 [11]). Пусть — непустой класс групп, — такое направление Ω-расслоенной формации, что , τ — регулярный подгрупповой функтор. Тогда формация обладает единственным минимальным τ-замкнутым -спутником таким, что

для всех

если ).

Лемма 4 (Лемма 2 [11]). Пусть — Ω-расслоенная формация с br-направлением φ, , τ — регулярный Ωφ-радикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов. Формация является τ-замкнутой тогда и только тогда, когда обладает хотя бы одним τ-замкнутым Ω-спутником.

Замечание 2. Если — непустой класс групп, — br-направление Ω-расслоенной формации, и τ — регулярный Ωφ-радикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов, то в силу леммы 4 .

Лемма 5 (Следствие 4.4 из теоремы 4 о соответствии [7]). Пусть — ω-центральная формация, , — Ω-композиционная формация с Ω-спутником согласованным с таким, что для любого . Тогда .

Лемма 6 (Теорема 1 [12]). Пусть — непустая неединичная формация, Ω — непустой подкласс класса , — FR-функция, для любого . Тогда содержится в Ω-расслоенной формации , где — такая Ω-функция, что для любого , для любого , а для любого справедливо: если , то , если , то .

Лемма 7 (Теорема 2 [12]). Пусть — непустая неединичная формация, — p-направление ω-веерной формации, для любого . Тогда содержится в ω-веерной формации , где — такая -функция, что , для любого , и для любого справедливо: , если , , если .

Установим взаимосвязь между минимальным τ-замкнутым ω-спутником ω-центральной формации и минимальным τ-замкнутым Ω-спутником соответствующей ей Ω-композиционной формации.

Теорема 1. Пусть τ — регулярный -радикальный подгрупповой функтор, — ω-центральная формация с минимальным τ-замкнутым ω-спутником , , — Ω-композиционная формация с минимальным τ-замкнутым Ω-спутником , обладающая Ω-спутником, согласованным с . Тогда спутники и также являются согласованными.

Доказательство. Так как — τ-замкнутый ω-спутник формации , то согласно лемме 2 формация является τ-замкнутой. Поскольку — минимальный τ-замкнутый ω-спутник формации , то по лемме 1 имеет следующее строение:

для всех (2);

, если (3).

Так как — минимальный τ-замкнутый Ω-спутник формации , то по лемме 3 имеет следующее строение:

(4);

для всех (5);

, если (6).

Пусть — Ω-спутник формации , согласованный с ω-спутником . Тогда по лемме 5 = . Так как и согласованы, то по определению согласованных спутников (7) и (8) для любого . Следовательно, Ω-спутник формации является τ-замкнутым. Установим, что спутники и являются согласованными.

1) Покажем, что . Пусть . Установим, что . Возьмем . Проверим, что . Так как , то , где . Поскольку , имеем , то есть . Тогда . Так как , то по (4) Поскольку — формация, то Таким образом, , из чего следует, что и . Поэтому (9). Согласно лемме 1 — единственный минимальный τ-замкнутый Ω-спутник формации . Это означает, что и, значит, ввиду (7) (10). Из (9) и (10) делаем вывод, что .

2) Покажем, что для всех . Пусть . Согласно строению спутника справедливо . Докажем, что . Для этого достаточно установить, что . Поскольку и , то . Проверим, что . Допустим, что . Тогда и . Получили противоречие. Это означает, что . Тогда . Поэтому ввиду (6) . Следовательно, .

Пусть . Поскольку направления и являются коллинеарными, то из (2) и (5) имеем .

В следующей теореме для произвольной непустой неединичной τ-замкнутой формации построим τ-замкнутую Ω-композиционную формацию, содержащую .

Теорема 2. Пусть — регулярный -радикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов, — непустая неединичная τ-замкнутая формация, Ω — непустой подкласс класса , для любого . Тогда содержится в -замкнутой Ω-композиционной формации , где — такая Ω-функция, что для любого выполняется , для любого справедливо равенство , а для любого выполняется , если , и , если .

Доказательство. По лемме 6 содержится в Ω-композиционной формации , где — такая -функция, что для любого справедливо , для любого выполняется , а для любого выполняется , если , и , если .

Покажем, что — -замкнутая формация. Для этого, ввиду леммы 4, достаточно проверить, что — τ-замкнутый Ω-спутник формации . Пусть . Покажем, что — τ-замкнутая формация. Если , то по условию и, значит, — τ-замкнутая формация. Пусть . Тогда по условию и в силу τ-замкнутости получаем, что — τ-замкнутая формация.

Пусть . Если , то по условию . Следовательно, — τ-замкнутая формация. Пусть . Тогда по условию . Покажем, что — -замкнутая формация. Возьмем и . Установим, что . Поскольку и — подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов, то . Так как , то и, значит, . Следовательно, и — τ-замкнутая формация. Поэтому — τ-замкнутая формация. Таким образом, что — τ-замкнутый Ω-спутник формации . Тогда по лемме 4 — τ-замкнутая формация. Теорема доказана.

В следующей теореме для произвольной непустой неединичной τ-замкнутой формации построим τ-замкнутую ω-центральную формацию, содержащую .

Теорема 3. Пусть — непустая неединичная τ-замкнутая формация,τ — регулярный -радикальный подгрупповой функтор, для любого . Тогда содержится в τ-замкнутой ω-центральной формации , где — такая -функция, что , для любого , идля любого выполняется , если , и , если .

Доказательство. По лемме 7 содержится в ω-центральной формации , где — такая -функция, что , для любого , и для любого выполняется , если , и , если .

Покажем, что — τ-замкнутая формация. Для этого, ввиду леммы 2, достаточно показать, что — τ-замкнутый ω-спутник формации . По условию . Следовательно, — τ-замкнутая формация. Пусть . Если , то по условию — τ-замкнутая формация. Пусть . Если , то по условию и, значит, — τ-замкнутая формация. Пусть . Покажем, что — τ-замкнутая формация. Пусть и . Установим, что . Так как , то . Это означает, что — -число и поэтому — -число. Таким образом, . Тогда и – -замкнутая формация. Следовательно, и в этом случае — τ-замкнутая формация.

Тем самым установлено, что — τ-замкнутый ω-спутник формации . По лемме 2 получаем, что — τ-замкнутая формация. Теорема доказана.

1. Gaschütz W. Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen. — Math. Z., 1963. Vol. 80. № 4. — S. 300–305.

2. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. — М.: Наука, 1978. — 272 с.

3. Скиба А. Н. Алгебра формаций. — Минск: Беларуская навука, 1997. — 240 с.

4. Doerk K., Нawkes T. Finite soluble groups. Walter de Gruyter, Berlin — New Jork, 1992. — 891 p.

5. Ведерников В. А., Сорокина М. М. Ω-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика, 2001. Т. 13. Вып. 3. — С. 125–144.

6. Ведерников В. А., Сорокина М. М. ω-веерные формации и классы Фиттинга конечных групп // Математические заметки, 2002. Т. 71. № 1. — С. 43–60.

7. Ведерников В. А. О новых типах ω-веерных формаций конечных групп // Украiнський математичный конгресс — 2001. Секцiя 1. Працi. Киiв, 2002. — С. 36–45.

8. Vedernikov V. A. Maximal satellites of Ω-foliated formations and Fitting classes // Proc. Steklov Inst. Math., 2001. № 2. — P. 217–233.

9. Каморников С. Ф., Селькин М. В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. — Минск: Беларуская навука, 2003. — 254 с.

10. Корпачева М. А., Сорокина М. М. Критические ω-веерные τ-замкнутые формации конечных групп // Дискретная математика, 2011. Т. 23. Вып. 1. — С. 94–101.

12. Сорокина М. М., Корочкина Г. О., Кочергина А. Н. О вложении классов конечных групп в Ω-расслоенные формации // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. XLIX междунар. науч.-практ. конф. № 12 (47). — Новосибирск: СибАК, 2016. — С. 96–102.