При использовании метода конечных элементов для моделирования различных твердых тел много ресурсов используется для решения систем линейных уравнений. В данной статье обобщена информация о наиболее популярных программных комплексах конечно-элементного анализа, а также о методах решения систем линейных алгебраических уравнений. Данные материалы могут быть использованы при выборе конечно-элементного комплекса для решения прикладных задач, а также при проектировании новых конечно-элементных задач.
Ключевые слова: программные комплексы, моделирование деформации твёрдого тел, системы линейных алгебраических уравнений, метод конечных элементов.
На сегодняшнем этапе развития общества трудно представить процесс создания новых машин, зданий и сооружений без использования программ конечно-элементного анализа. С целью моделирования многофункционального расчетно-вычислительного комплекса на основе метода конечных элементов (МКЭ) необходимо привлечение большого количества специалистов в области строительной механики, прикладной математики и системотехники.
На сегодняшний день активное применение в области автоматизированного проектирования нашли конечно-элементные программные комплексы (КЭПК), которые используются для моделирования деформации твердых тел методом конечных элементов (МКЭ) [1].
Современные программные средства конечно-элементного анализа
В данный момент имеется огромное множество отечественных и иностранных систем автоматизированного проектирования, используемых в комбинировании с системами автоматизации технических расчетов и анализа (CAE), дающие возможность выполнять задачи прогнозирование процессов в различных сферах. В частности, из числа отечественных комплексов наиболее популярными считаются T-FLEX CAD, КОМПАС, APM WinMachine, среди систем автоматизированного проектирования мировых поставщиков — AutoCAD, Autodesk, NX, Solid Edge, SolidWorks [2].
Программное обеспечение типа САЕ выполняет наиболее многообразную работу по анализу напряжений, деформаций, потока жидкостей и прочих характеристик непрерывных сред. К более известным CAE-системам можно отнести Nastran, ANSYS, Abaqus и пр. Кроме того нужно отметить, что системы типа CAE делятся на узконаправленные (например, Deform и Qform) и направленные на разрешение большого спектра вопросов, таких как программные комплексы ANSYS (ANSYS, Inc.), Abaqus (Abaqus, Inc.).
При проведении конечно-элементного анализа деформации твердых тел выбранное ПО должно удовлетворять некоторым условиям:
‒ продолжительный опыт применения выбираемой концепции для расчета задач по данному направлению;
‒ многофункциональность системы и возможность дальнейшего использования продуктов этой компании;
‒ открытость и гибкость, т. е. возможность автоматизации повторяющихся расчетов для однотипных задач.
В данном обзоре была поставлена цель охватить как можно более разнообразные задачи. Рассматривались компьютерные системы, пригодные для моделирования объекта на термопрочность, но также учитывалась возможность использования систем автоматизированного проектирования для моделирования технологических процессов в различных сферах. Наиболее распространенными программными комплексами, предназначенными для решения предложенных задач, являются продукты компаний MSC Software Corporation (Nastran), ANSYS, Inc. (ANSYS).
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений: LDLТ-разложение симметричной матрицы и LU-разложение метод квадратного корня.
Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод симметричной последовательной релаксации, метод сопряжённых невязок, метод сопряжённых градиентов, квадратичный метод сопряжённых градиентов, метод бисопряжённых градиентов, стабилизированный метод бисопряжённых градиентов. [2]
Решатели вконечно-элементных программных комплексах ANSYS иNASTRAN
Нужно отметить ряд отличительных особенностей, позволяющих систематизировать решатели. Им принадлежит применяемый метод решения систем алгебраических линейных уравнений и вычислительная система.
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений подразделяются на и прямые. Прямые используют метод Гаусса, а итерационные методы создают несколько приближений к решению системы.
Прямые методы арифметики дают точное решение систем алгебраических уравнений при использовании чисел с плавающей точкой. Их представление зависит от нескольких значений элементов матрицы, которые применяются специальные арифметические методики. Для ускорения сходимости часто используют предобуславливание, цель которого состоит в приближение матрицы, обратной к матрице коэффициентов систем линейных алгебраических уравнений.
Некоторые прямые и итерационные решатели входят в поставку в комплект поставки системы ANSYS. Библиотечная реализация прямых решателей, основанная на факторизации матрицы, использует разложение Холецкого и LU-разложение. Первоначальное использование прямого решателя было осуществлено внутри компании, однако библиотека BCSLIB начала использоваться с начала XXI века. Решатели поддерживают ускорители и работают с системами с общей и распределенной памятью.
В составе ANSYS первым итерационным решателем, представленный пользователю, был решатель JCG. Он мог использоваться для задач с маленькими числами обусловленности. Также в комплекте поставки комплекса ANSYS входил решатель PowerSolver. Он предполагал работу только с симметричными матрицами с большими числами обусловленности.
Для решения систем линейных алгебраических уравнений с матрицами общего вид в ANSYS поставлялся решатель ICCG. Он позволял решать уравнения с симметричными и несимметричными матрицами. Специфика данного решателя не была опубликована. Предполагается, что в нем решается сразу несколько задача различными итерационными методами с общим обозначением. В частности, кроме метода CG с IC-предобуславливателем они сообщают об использовании методов GMRES, BiCG (нестабилизированная версия) и ILU- предобуславливатель.
В программном комплексе NASTRAN прямые решатели основаны на LU- и LDLT-разложениях и поддерживают графические ускорители, а также распределённые системы. Также, NASTRAN использует два итерационных решателя, основанных на методе CG. Один из методов использует матрицы в явном виде, а второй реализует поэлементный подход.
Набор прямых методов включает в себя, разложение Холецкого, LU-разложение, LDLT-разложение с предобработкой для уменьшения заполненности факторизации. Для предобуславливания используется метод Якоби.
Заключение
В результате проведенного анализа на основе обзора технических характеристик программных комплексов компаний ANSYS и MSC.Software Corporation можно прийти к выводу о том, что продукты этих компаний удовлетворяют перечисленным в начале настоящей работы требованиям к системе расчета.
Продукты представленных компаний являются наиболее популярными, как в России, так и в мире. Они имеют хорошо развитый графический пользовательский интерфейс с поддержкой необходимых форматов данных для обмена между различными программными пакетами, надежность расчетов и требуемую точность при детальном расчете полей напряжений и деформаций. По итогам проведенного обзора широкого спектра информационных и научных источников в области математического моделированиям механических систем и процессов выявил возможности программных комплексов компаний ANSYS и MSC NASTRAN.
Большинство конечно-элементных программных комплексов общего назначения имеют две группы решателей. Первая группа включает прямые решатели, предназначенные для работы с небольшими задачами, а также задачами, порождающими системы линейных алгебраических уравнений с высокими числами обусловленности. Вторая группа представляет собой набор итерационных решателей, основанных на подпространствах Крылова с различными предобуславливателями.
Наиболее часто применяются алгебраические решатели неполного LU-разложения. Остальные предобуславливатели применяются очень редко.
В конечно-элементных программных комплексах зачастую применяются готовые бесплатные и коммерческие библиотеки подпрограмм для решения систем линейных алгебраических уравнений прямыми методами. Наверняка авторы библиотек конструируют итерационные методы с помощью библиотек математических примитивов. Вероятно, со временем в поставку программных комплексов будут включаться новые коммерческие итерационные решатели.
Литература:
- Сводная таблица решателей в PETSc. URL: www.mcs.anl.gov/petsc/documentation/linearsolvertable.html (дата обращения: 28.12.2017).
- Клебанов Я. М., Давыдов А. Н. Методика расчета напряженно-деформированного состояния композиционных материалов // ANSYS Advantage. Русская редакция. 2008. № 8.С. 11–15
- Шатров Б. В. теоретические основы анализа конструкций с применением метода конечных элементов. Курс лекций М.: 1998. MSC.Software Corporation.
- Комплексные технологии виртуального моделирования и инженерного анализа. М.: MSC.Software Corporation, 2007. 44 c.
- Рыбников Е. К., Володин С. В., Соболев Р. Ю. Инженерные расчёты механических конструкций в системе MSC.Patran-Nastran. Часть II. Учебное пособие. — М., 2003. — 174 с.
