Исследованию существенного спектра непрерывных и дискретных операторов Шредингера посвящены многие работы (см., например, 
и 
, соответственно). В работе доказано, что существенный спектр трехчастичного дискретного оператора Шредингера состоит из объединения не более чем конечного числа отрезков даже в том случае, когда соответствующий двухчастичный дискретный оператор Шредингера имеет бесконечное число собственных значений.
В настоящей работе рассматривается модельный оператор 
, ассоциированный с системой трех частиц на решетке. Описано местоположение существенного спектра оператора , т. е. выделены двухчастичная и трехчастичная ветви существенного спектра оператора .
Следует отметить, что двухчастичная и трехчастичная ветви существенного спектра трехчастичного непрерывного оператора Шредингера представляют собой полубесконечные прямые и пересекаются. В рассматриваемой нами ситуации непрерывного случая такие ветви существенного спектра оператора заполняют отрезки конечной длины, и они могут не пересекаться, т. е. возникает лакуна. Поэтому необходимо изучать ветви существенного спектра по обе стороны трехчастичной ветви. В работах [3,4], доказано, что рассматриваемые решетчатые операторы не имеют частей существенного и дискретного спектров правее трехчастичной ветви.
Пусть 
— мерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе 
рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в 
по модулю 
, где ℝ и ℤ — множества всех вещественных и целых чисел, соответственно.
Пусть 
— гильбертово пространство квадратично — интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на 
и 
— гильбертово пространство квадратично — интегрируемых симметричных (комплекснозначных) функций, определенных на 
.
Рассмотрим трехчастичный модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве , по формуле
.
Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирований, 
— положительные числа, 
— вещественнозначные непрерывные функции на .
При этих предположениях оператор является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве .
Пусть
— комплексная плоскость. При каждом фиксированном 
определим регулярную в 
функции
;
,
где числа 
и 
определяются равенствами
, 
.
Пусть 
множество тех точек 
, для которых равенство
имеет место хотя бы для одного и
, 
;
, 
.
Видно, что при каждом фиксированном функция 
монотонно убывает на полуосях 
и 
. Поэтому при всех и 
верно 
. Следовательно, для любого функция имеет не более чем один простой нуль, лежащей левее 
. Отсюда следует, что
.
Следующая теорема описывает местоположение существенного спектра оператора
.
Теорема. Для существенного спектра 
оператора имеет место равенство
.
Вводим новые подмножества существенного спектра оператора .
Определение. Множества 
и 
называются, соответственно, двухчастичной и трехчастичной ветвями существенного спектра оператора .
Замечание. Если 
нечетная функция, т. е.
при всех , то справедливо равенство
.
Очевидно, что если 
при всех , то из свойства монотонности интеграла Лебега следует, что 
и 
. Следовательно, в этом случае двухчастичная ветвь расположена левее трехчастичной ветви существенного спектра оператора . Если 
при всех , то из свойства монотонности интеграла Лебега следует, что 
и 
. В данном случае часть двухчастичной ветви существенного спектра расположено правее трехчастичной ветви существенного спектра оператора .
Если для функции 
имеет место неравенство
,
то 
и тем самим появляется часть существенного спектра оператора , правее трехчастичной ветви. Отметим, что появление двухчастичных ветвей по обе стороны трехчастичной ветви существенного спектра оператора играет важную роль при изучении конечности частей дискретного спектра, расположенных там, а также на лакунах существенного спектра.
Автор приносит благодарность к. ф.-м.н., доц. Т. Х. Расулову за постановку задачи и обсуждение результатов работы.
Литература:
- Г. М. Жислин. Исследование спектра оператора Шредингера для системы многих частиц. Труды Моск. матем. об-ва. 1960, Т. 9, С. 81–120.
- S.Albeverio, S. N. Lakaev, Z. I. Muminov. On the structure of the essential spectrum for the three-particle Schroedinger operators on lattices. Math. Nachr. 2007, Vol. 280, № 7, Pp. 699–716.
- S.Albeverio, S. N. Lakaev, R.Kh.Djumanova. The essential and discrete spectrum of a model operator associated to a system of three identical quantum particles. Rep. Math. Phys., 2009, Vol.63, no.3, pp. 359–380.
- S.Albeverio, S. N. Lakaev, Z. I. Muminov. On the number of eigenvalues of a model operator associated to a system of three — particles on lattices. Russian J. Math. Phys., 2007, Vol.14, no.4, pp. 377–387.
