Один из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве
— это изучение числового образа этого оператора [1]:
,
здесь есть область определения оператора
. Если
— ограниченный оператор, то
. Известно, что точечный спектр
оператора
лежит в
, а аппроксимативно точечный спектр
оператора
содержится в
. Если
замкнутый оператор и всякая компонента множества
содержит хотя бы одну точку резольвентного множество
оператора
, то имеет место включение
(
-множество комплексных чисел). В силу теоремы Тёплица — Хаусдорфа числовой образ является выпуклым подмножеством множества
. С одной стороны, свойства выпуклости является важным свойством, например, при доказательстве принадлежности спектра в полуплоскость. Но, числовой образ иногда дает недостаточно хорошую структуру, если спектр состоит из объединения двух не пересекающихся множеств.
Учитывая этих неудобств, в работе [2] введено понятие квадратичного числового образа и затем изучены в работах [3,4]. Оно определено, если дано разложение гильбертово пространство
и
, здесь
и
гильбертово пространства. Тогда оператор
всегда записывается как квадратичная блочно-операторная матрица размера
(1)
с линейными операторами ,
. Для неограниченного линейного оператора
в
, его область определении
необязательно должна быть разложимой как
c
,
и следовательно, это дополнительное предложение, того что оператор
имел представление (1) такое, что
.
Пусть ,
— скалярное произведение и норма в
,
, соответственно.
Множество всех собственных значений матрицы
таких, что





Для двух различных разложений гильбертово пространства , могут соответствовать различные квадратично числовые образы.
Обозначим через — множество всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно.
Пусть —
— мерный тор, т. е. куб
— с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе
рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в
по модулю
.
Пусть — гильбертово пространство квадратично — интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на
Обозначим через
прямую сумму пространств
и
, т. е.
.
Гильбертово пространство обычно называется двухчастичным обрезанным подпространством фоковского пространства.
В данной статье рассмотрим обобщенную модель Фридрихса , действующую в гильбертовом пространстве
как
блочно-операторная матрица (1), где элементы
, определяются по формулам
,
,
,
(2)
здесь ;
фиксированные вещественные числа,
вещественнозначная непрерывная функция на
, а
сопряженный оператор к
. При этом оператор
называется оператором уничтожения, а
называется оператором рождения.
Можно проверить, что при таких предположениях операторная матрица , определенный по формуле (1) с матричными элементами (2), является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве
.
Следующая теорема описывает спектр оператора

Теорема 1. Для спектра оператора имеет место равенство
, т. е. оно имеет чисто точечный спектр, где,
— бесконечнократное собственное значение, а
и
— простые собственные значения.
Следующие две теоремы дают информации о квадратичном числовом образе оператора .
Теорема 2. При , имеет место равенство
.
Для формулировки второго основного результата работы введем следующие множества:
Теорема 3. Если , то имеет место равенство
, причём
.
Отметим, что в работе [5] при всех размерностях тора подробно исследованы числовой образ
обобщенной модели Фридрихса в терминах матричных элементов. Выделены случаи, когда множество
замкнуто. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы спектр оператора
совпадал с множеством
. А связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса с двумерным возмущением изучена в работе [6].
Литература:
- O.Toeplitz. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer. Math. Z., 1918, vol. 2, no. 1–2, pp. 187–197.
- H.Langer, C.Tretter. Spectral decomposition of some nonselfadjoint block operator matrices. J. Operator Theory, 39:2 (1998), 339–359.
- H.Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C.Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range. Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), 89–112.
- H.Langer, A. S. Markus, C.Tretter. Corners of numerical ranges. In Recent advances in operator theory (Groningen, 1998), vol. 124 of Oper. Theory Adv. Appl., 385–400 (Birkhauser, Basel, 2001).
- Т. Х. Расулов, Э. Б. Дилмуродов. Исследование числовой области значений одной операторной матрицы. Вестн. Сам. гост. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2(35). С. 50–63.
- Т. Х. Расулов, Э.Дилмуродов. Оценки для квадратичной числовой области значений одной операторной матрицы. Узбекский математический журнал. № 1 (2015), С. 64–74