В этой статье описывается метод последовательных приближений для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения, имеют широкое применение в физике, в механике, в дифференциальной геометрии, в вариационной исчисление, в химии, в биологии, в электротехнике, в экономике и в других сферах науки.
Многие процессы описываются при помощи дифференциальных уравнений. Эти дифференциальные уравнения являются математической моделью данного процесса. Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений.
Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию некоторой переменной, эту переменную и производную и производные различных порядков данной функции:
Если неизвестная функция в дифференциальном уравнении является функцией от одной переменной, тогда это уравнения называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если неизвестная функция в дифференциальном уравнении является функцией от многих переменных, тогда это уравнения называется дифференциальным уравнением в частных производных.
В частном случае мы рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, который имеет следующий вид:
Если это уравнение можно представить в следующем виде:
(1)
тогда это уравнения называется дифференциальным уравнением разрешенное относительно производной.
Определение 2([1]). Пусть задано уравнение (1) и функция 
определена в области Г плоскости R2. Если для функции 
определенной на интервале I выполняются следующие условия
(2)
Тогда эта функция на интервале I называется решением (1) дифференциального уравнения. Решение, заданного в неявном виде, называется интегралом дифференциального уравнения.
График решения (интеграла) дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Пусть задано уравнение (1) и функция определена, непрерывна в области Г плоскости R2 и интервал 
является интервалом на оси 
, которому принадлежит точка 
. Требуется найти такую функцию 
определенной на интервале I, для которой выполняются следующие условия
` 
(3)
Эта задача записывается следующим образом: 
и называется задачей Коши для (1) уравнения.
Задачу Коши, поставленную для любого дифференциального уравнения нельзя решать аналитически.
Из теоремы существование и единственности решения задачи Коши дифференциального уравнения, для метода последовательности можно получать следующие формулы:
Применение этой формулы посмотрим в одном примере,
Пример.
Точное решение этого уравнения: 
Решение 3-го приближения следующее:
Нарисуем графики этих решений, т. е. точное и приближенное решение при помощи программы Mathcad:
Из графика решений можно видеть, что этот метод мы можем применять для уравнений неинтегрируемых на квадратурах.
Литература:
- Салохиддинов М. С., Насриддинов Г. Н. Оддий дифференциал тенгламалар. Тошкент, Ўзбекистон”, 1994 й.
- Н. Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. Москва, Юнити, 2007 г.
- Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М. наука, 1979 (5 –е издание).
