Пусть 
— трехмерный тор, т. е. трехмерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе 
рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в 
по модулю 
. Например, если
,
то
.
Рассмотрим функцию многих переменных следующего вида
,
где 
. Здесь, 
— некоторое натуральное число.
Простые вычисления показывают, что
;
;
.
Теперь изучаем точки невырожденного минимума функции 
.
Случай 1. Пусть 
. Тогда функция 
имеет единственный невырожденный минимум в точке 
. Действительно, в этом случае
,
где 
единичная матрица размера 
. Поэтому для функции 
, где
,
имеет место равенство
.
Очевидно, что последняя матрица положительна определенная, и следовательно, функция 
имеет единственный невырожденный минимум в точке 
.
Случай 2. Пусть
. Введем следующие точки из 
:
.
В данном случае функция 
имеет совпадающий невырожденный минимум в точках 
, 
и имеет место соотношениt
, 
.
Следовательно,
, 
.
Так как последняя матрица положительно определенная, и следовательно, функция 
имеет невырожденный минимум в точках 
, 
.
Случай 3. Пусть 
. Введем следующие точки из 
:
,
,
,
,
,
.
В данном случае функция имеет совпадающий невырожденный минимум в точках , 
и имеет место соотношение
, 
.
Следовательно, функция имеет невырожденный минимум в точках , 
.
Теперь остановимся коротко на применениях. Случай 
обсуждался в работе [1], где изучено существование эффекта Ефимова для матричных операторов. Случай 
обсуждался в работе [2], где доказана бесконечность числа собственных значений, лежащих в лакунах существенного спектра одного матричного оператора размера 
. Случай 
обсуждался в работе [3]. Там показано существование бесконечного числа собственных значений, лежащих в существенном спектре одного матричного оператора размера 
. Случай произвольного 
обсуждался в работах [4] и [5], где получена асимптотика дискретного спектра трехчастичного модельного оператора и для матричного оператора размера 
, соответственно.
Литература:
- S.Albeverio, S. N. Lakaev, T. H. Rasulov. The Efimov Effect for a Model Operator Associated with the Hamiltonian of non Conserved Number of Particles. Methods of Functional Analysis and Topology. 13:1 (2007), P. 1–16.
-
M. I. Muminov, T. H. Rasulov. On the eigenvalues of a block operator matrix. Opuscula Mathematica, 35:3 (2015), P. 371–395.
- M. I. Muminov, T. H. Rasulov. Embedded eigenvalues of an Hamiltonian in bosonic Fock space. Communications in Mathematical Analysis. 17:1 (2014), P. 1–22.
- Т. Х. Расулов. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке. Теоретическая и математическая физика. 163:1 (2010), С. 34–44.
- Т. Х. Расулов. О числе собственных значений одного матричного оператора. Сибирский математический журнал. 52:2 (2011), С. 400–415.
