Вданной статье рассмотрено решение проблемы уменьшения суммы квадратов отклонений определённых функций от искомых переменных для полиномиальных уравнений n степени. Приведено подробное решение для уравнений 2 степени, рассматриваемой проблемы. Представлена рабочая программа.
Ключевые слова: метод наименьших квадратов, полиномы, полиномиальная регрессия, оконное приложение.
Метод наименьших квадратов — один из методов статистики, имеющий различное практическое применение, в основе которого лежит минимизация суммы квадратов отклонений функций от подлежащих нахождению переменных [4].
История создания.
Одной из основных задач, для решения которой применяется метод наименьших квадратов, является решение систем линейных уравнений, в которых число неизвестных переменных меньше, чем число уравнений. Впервые, метод был применён в 1796 году Фридрихом Гауссом, а в 1805 году Адриен Лежандр опубликовал метод под насущным названием. Метод в дальнейшем был доработан и улучшен [4].
Суть метода.
Допустим, что x — группа nнеизвестных переменных: 
–набор функций от группы переменных. Целью является подбор таких x, чтобы значения функций были близки к yi [3]. Следовательно, суть метода наименьших квадратов может быть выражена следующей формулой:
Полиномиальная регрессия.
Допустим, что имеется nзначений переменной yи соответствующих переменных x. Необходимо аппроксимировать корреляцию между yи xопределённой функцией f(x,a), где a–известные параметры.
В случае, когда имеется некоторая полиномиальная регрессионная зависимость, например:
можно определить параметры системы, учитывая, что
а также 
Тогда, матричные уравнения будут иметь следующий вид:
Цель работы.
Целью проводимой работы является вывод рабочих формул, минимизирующих сумму квадратов отклонений полиномиальной функции 2 степени, а также создание практической программы, позволяющей находить коэффициенты квадратичной функции и полинома nстепени. Приложение будет являться оконным (будет предусмотрена возможность построения графика по заданным точкам).
Математическое решение проблемы для полиномов 2 степени.
Пусть дан полином второй степени вида:
Пусть задана функция
Тогда:
(двойку можно сократить)
В итоге имеем: 
(Преобразуем к виду (1) см. ниже)
Тогда:
(двойку можно сократить)
В итоге имеем: 
(Преобразуем к виду (2) см. ниже)
Тогда: 
(двойку можно сократить)
В итоге имеем:
(Преобразуемк виду (3) см. ниже)
Составим систему линейных уравнений:
Решим систему. Найдём определитель системы:
Найдём первый частный определитель системы:
Найдём второй частный определитель системы:
Найдём третий частный определитель системы:
, b=
, c=
.
Решение проблемы для полиномов n степени.
Пусть дан полином вида: 
, где 
, а 
длина отрезка известных нам значений [2].
Необходимо найти такие параметры 
, чтобы сумма квадратов отклонений 
от
в точках 
была минимальной, то есть
Задача сводится к решению системы уравнений:
Для решения будем использовать метод Гаусса. Результат решения системы можно наблюдать в работе оконного приложения на языке программирования C#.
Программа
Оконное приложение на языке программирования C# для определения коэффициентов аппроксимации полиномов nстепени.
Основная работа программы приходится на обработчик нажатия кнопки вычислить. Считывается степень полинома. Вычисляется кол-во точек. Далее по заданным точкам заполняется матрица сумм. Далее матрица сумм приводится к такому виду, чтобы на главной диагонали не было нулей. Высчитываются коэффициенты аппроксимации.
Программа позволяет импортировать данные из текстового файла, строить график получившейся функции и сохранять его в формате.png, экспортировать в текстовый файл получившиеся коэффициенты.
Оконные формы приложения:
Рис. 1. Оконное приложение, реализующее метод наименьших квадратов для полиномиальных уравнений n степени.
Рис. 2. Полученный график, аппроксимированной функции.
Программа доступна к использованию по ссылке: https://yadi.sk/d/G9WiaoGe3UYqsJ
Вывод
В ходе работы были выведены рабочие формулы, минимизирующие сумму квадратов отклонений полиномиальной функции второй и n-ой степени, а также была создана практическая программа, позволяющая находить коэффициенты аппроксимируемой функции.
Разработанная программа может применяться при расчётах в эконометрике для наглядного определения зависимостей одних зависимостей от других, также в оценке параметров однофакторной эконометрической модели и других областях науки.
Литература:
- Письменный Т.Д — Конспект лекций по высшей математике
- NetBeansURL: https://netbeans.org/ (Дата обращения: 5.4.18).
- Аппроксимация функций полиномом методом наименьших квадратов.URL: http://www.alexeypetrov.narod.ru/C/sqr_less_about.html (Дата обращения: 6.4.18)
- Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Метод наименьших квадратов. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_наименьших_квадратов (Дата обращения: 6.4.18).
