Численное решение задачи переноса вещества в двухзонной среде с нелинейной кинетикой



В [1] рассмотрен перенос вещества в среде с двойной пористостью, учитывающий обратимое и необратимое осаждение вещества в обеих зонах и равновесный обмен первого порядка между зонами. В каждой зоне, т. е. в трещинах и пористых блоках, происходит обратимое и необратимое осаждение (отложение) вещества с различными характеристиками, описываемые линейными уравнениями. Получено аналитическое решение задачи, которое использовано для описания результатов ранее проведенных экспериментов [2].

Используем аналогичную с [3] схему среды с двойной пористостью (Рис.1). В биконтинуальных средах, таких как трещиновато-пористые среды, необходимо использовать двухзонный подход, где в обеих зонах жидкость считается подвижной. В таких средах с двойной пористостью или двойной проницаемостью перенос вещества, как и движение жидкости происходит с различной интенсивностью, порою контрастной. Заметим что такой подход используется и для макроскопически неоднородных сред, где в обеих зонах может происходить конвективный перенос вещества.

Первая зона с индексом 1 в обозначениях имеет высокую проницаемость, а вторая зона — низкую. В каждой зоне есть по два участка, в каждой из которых происходит осаждение вещества с необратимой неравновесной кинетикой.

Рис.1. Схема переноса вещества в двухзонной среде

Здесь в отличие от [4] рассмотрим нелинейные уравнения кинетики.

Уравнения переноса вещества в одномерном случае записываем в виде [4]

,(1)

,

где — время, с, x-расстояние, м,- коэффициент продольный дисперсии, — скорости движения жидкости, м/с,,- объемная концентрация вещества в жидкости,и -концентрации отложенного вещества,, - пористости зон, , - плотность среды, ,- коэффициент массообмена между зонами, .

Осаждение вещества в каждом из участков зон происходит обратимо в соответствии с кинетическими уравнениями

,(2)

,(3)

где ,- коэффициенты отложения вещества от жидкой фазы lна твердую фазу, , - коэффициенты отрыва вещества из твердой фазы и перехода в жидкость, ,

Пусть в первоначально насыщенную чистой (без вещества) жидкостью среду с начального момента времени закачивается жидкость с постоянной концентрацией вещества . Рассмотрим такие периоды времени, где концентрационное поле не достигает правой границы среды, . При отмеченных допущениях начальные и граничные условия для задачи имеют вид

(4)

(5)

(6)

Задача (1) — (6) хотя и является линейной, получение аналитического решения является сложным, т. к. необходимо найти одновременно три поля в каждой из зон. Поэтому для решения задачи применяем метод конечных разностей. В рассматриваемой области введена равномерная по направлениям сетка

,

где I — достаточно большое целое число, выбираемое так, чтобы отрезок [],, перекрывал область расчетного изменения полей Ci, Sai и Ssi, h — шаг сетки по направлению х.

В открытой сеточной области

уравнения (1), (2), (3) аппроксимировались следующим образом

(5)

,

,(6)

,(7)

где ,, — сеточные значения функций , , ,в точке .

Из явных сеточных уравнений (6), (7) определяем ,

,(8)

,(9)

где

, ,

, .

Сеточные уравнения (5) приводятся к виду

,(10)

где , , ,

.

Устанавливается следующий порядок расчета решений. По (8), (9) определяются ,, затем решая систему линейных уравнений (10) методом прогонки — Поскольку, схемы (8), (9) устойчивы, а для (10) условия устойчивости метода прогонки выполняются.

В расчетах использованы следующие значения исходных параметров: , ,,,

дисперсность .

Некоторые характерные результаты показаны на рис. 2–4. Из рис.3 видно, что уменьшение показателя от единицы приводит к замедлению развития профилей концентрации (при неизменных остальных параметрах). Концентрации осажденного вещества при этом имеют опережающее развитие (рис.3,4). Другим словами, уменьшение показателя при прочих неизменных значениях остальных параметров приводит к интенсификации осаждения вещества в обоих участках зон. Как следствие этого в распределении концентраций вещества в подвижной жидкости обеих зон происходит отставание.

Рис.2. Профили концентраций С_l приt=3600 c,

Рис. 3. Профили концентраций Sal при t=3600 c

Рис. 4. Профили концентраций S_sl приt=3600 c

Литература:

1. Leij F. J., Bradford S. A. Combined physical and chemical nonequilibrium transport model: analytical solution, moments, and application to colloids // Journal of Contaminant Hydrology. 110. 2009. Pp. 87–99.
2. Bradford S. A., Simunek J., Bettahar M., van Genuchten M. T., Yates S. R. Modeling colloid attachment, straining, and exclusion in saturated porous media // Environmental Science & Technology. 37. 2003. Pp. 2242–2250.
3. Leij F. L., Bradford S. A. Colloid transport in dual-permeability media // Journal of Contaminant Hydrology. 150. 2013. Pp. 65–76.
4. Feike J. L., Bradford S. A. Colloid transport in dual-permeability media // Journal of Contaminant Hydrology. 150. 2013.Pp.65−76.