Многокритериальная динамическая задача с экспертными оценками

Введение.

Человеку в своей деятельности для достижения поставленных целей приходится принимать решения. Задачи, связанные с выбором оптимальных решений, встречаются в экономике, технике, военном деле и т.д. По мере развития этих сфер процессы принятия решений формализуются и приобретают вид математических моделей, которые  отражают проблему в абстрактной форме и позволяют учесть несколько разнообразных характеристик.

При этом на первый план выходит изучение динамических систем. При наличии нескольких критериев в динамических задачах необходимо искать разумный компромисс, который заключается в выборе такого управления, что доставляет экстремальные значения одновременно всем критериям. Например, в экономике, когда в процессе функционирования предприятия одновременно ставятся разные цели: добиться максимально возможных прибыли и выпуска, одновременно с этим выдержать установленные показатели по номенклатуре или ассортименту, снизить себестоимость, добиться определенного уровня качества и рентабельности производимой продукции и т.д. Причем, в выборе такого оптимального решения лицу, принимающего решение (ЛПР) могут помочь независимые эксперты, которые высказываются о важности представленных критериев, например, указав их весовые коэффициенты. В этом случае многокритериальная динамическая задача может быть сведена к однокритериальной. Исследованием таких задач занимается теория оптимального управления. Основы этой теории были заложены академиком Л.С. Понтрягиным, центральным результатом здесь является принцип максимума [1-3].

Очевидно, что для принятия обоснованных решений ЛПР необходимо опираться на опыт, знания и интуицию специалистов. Тем самым недостаток информации можно компенсировать формализовано представленными знаниями экспертов. Для получения и обработки подобной информации стала развиваться самостоятельная дисциплина - теория и практика экспертных оценок. Экспертные исследования проводят с целью подготовки информации для ЛПР. Для проведения работы по методу экспертных оценок создают рабочую группу, которая организует по поручению ЛПР деятельность экспертов, объединенных  в экспертную комиссию. Экспертные оценки часто используются при выборе одного варианта из многих критериев или определения веса каждого критерия. Экспертные оценки бывают индивидуальные и коллективные. Существует множество методов получения экспертных оценок. В одних с каждым экспертом работают отдельно, в других экспертов собирают вместе. В одних методах число экспертов фиксировано и не изменяется со временем, в других - число экспертов растет в процессе проведения исследования, например, при использовании метода "снежного кома". Метод «Дельфи» используется для прогнозирования научно-технического развития, метод Сценариев применяется для экологического или социально-экономического экспертного прогнозирования, популярен метод Мозгового штурма, где эксперты высказывают свои идеи и, обсуждая, приходят к компромиссному решению [4].

С математической точки зрения проводить анализ мнений экспертов легче, если они имеют числовую форму, тем самым можно вывести компромиссное, согласованное мнение, которое устраивает одновременно всех экспертов. Существуют две основные шкалы измерений: количественная и качественная [5]. Наиболее часто мнения экспертов выражены в количественной шкале, т.к. эксперт может сказать, что один показатель (критерий) более важен, чем другой. В качественной шкале (порядковой шкале и шкале наименований) числа используются как метки, поэтому использование этой шкалы не целесообразно в задачах многокритериального выбора. Согласованное же мнение будем определять как среднее значение мнений всех экспертов; наиболее обоснованным в многокритериальных задачах можно считать среднее арифметическое значение экспертных оценок. При этом будем считать, что ЛПР обладает информацией о компетентности экспертов и формирует свою оценку уже по экспертам. Тем самым имеем иерархию, где сначала представлена оценка экспертов лицом, принимающим решение, затем присутствуют экспертные оценки критериев в задаче многокритериального выбора. Процесс нахождения компромиссного весового вектора критериев с учетом мнений экспертов и мнения ЛПР об экспертах представлен ниже.

Во многих задачах многокритериального выбора для принятия решений используют Метод анализа иерархий (МАИ, Analytic Hierarchy Process, AHP), предложенный Саати [6]. Этот метод представляет собой теорию, которая базируется на экспертных оценках и суждениях индивидуальных участников или групп. Число статей, в которых МАИ применяться для решения прикладных задач, в том числе и многокритериальных, превысило несколько тысяч. В России подобные исследования можно встретить в [7]. Согласно МАИ экспертами формируется матрица парных сравнений, а искомый весовой вектор (вектор приоритетов по Саати) вычисляется как собственный вектор матрицы парных сравнений, отвечающий максимальному собственному значению. Этот вектор определяет компромиссный выбор критериев в задаче принятия решений, представленный в форме весовых коэффициентов. Но МАИ не раз подвергался критике различными авторами, так как математически не обоснован способ определения весового вектора из-за нарушения свойства совместности матрицы парных сравнений. Например, Ногиным В.Д. был предложен упрощенный вариант МАИ на основе нелинейной свертки критериев, где решена проблема совместности матрицы парных сравнений [8].

В данной статье представлено решение многокритериальной динамической задачи с экспертными оценками. Многокритериальная динамическая задача имеет стандартную форму [1-3]. Экспертные оценки определяют матрицу, каждая строка которой есть мнение эксперта, представленное в виде весовых коэффициентов критериев динамической задачи. Также имеется мнение ЛПР об экспертах – вектор с коэффициентами важности (компетентности) экспертов при оценивании критериев рассматриваемой задачи. Сначала необходимо найти нормированный весовой вектор критериев, который учитывает как мнения экспертов, так и мнение ЛПР об экспертах. Затем проводиться линейная свертка критериев, относительно весового вектора, и решается задача оптимального управления с одним критерием.

Постановка и решение задачи.

Рассматривается многокритериальная динамическая задача с экспертными оценками

                                                (1)

Аналогичные задачи рассматриваются в [2]. Здесь  - управляемая динамическая система, которая описывается системой линейных дифференциальных уравнений и начальными условиями

,                                                (2)

,                                                                (3)

где и - матрицы размера и соответственно. Через обозначено множество управлений, выбором которых распоряжается ЛПР. Пусть на управление ограничений не наложено, т.е. . Здесь - промежуток времени функционирования системы, где и - моменты начала и окончания процесса соответственно. В (2)-(3) представлено изменение фазового вектора под воздействием управления. Начальное условие задано и определяет начальное состояние системы.

Имеем множество критериев динамической задачи:

,                                (4)

где и - положительно определенные симметрические матрицы размера и соответственно [9].

Экспертам, независимо друг от друга, для сравнения по весу или важности предлагается набор критериев; они выступают в качестве сравниваемых объектов. Тем самым формируется неотрицательная матрица экспертных оценок, где каждая -ая строка указывает на мнение -го эксперта в виде коэффициентов важности критериев (4) в задаче (1). Например, матрица говорит о том, что первый эксперт (первая строка) считает, что критерий является менее важным, чем критерий в отношении; т.е. вес критерия составляет, а критерия -  . Второй эксперт также отдает предпочтение второму критерию, но уже в отношении.

Лицо, принимающее решение, дает оценку экспертам, например, учитывая их компетентность или важность при оценивании критериев в рассматриваемой задачи. Так определяется диагональная матрица, элементы на главной диагонали которого положительны и указывают на важность (или «вес») экспертов при оценивании критериев. Например, матрица говорит о том, что мнение второго эксперта в два раза считается более важным, чем мнение первого.

Задача нахождения компромиссного решения, где учитывается как мнение всех экспертов, так и ЛПР об экспертах сводится к нахождению весового вектора. Очевидно, что такой вектор, должен быть получены из матрицы экспертов и матрицы, которая дает мнение ЛПР:

,                                                (5)

где - есть вектор-строка, состоящий из - единиц. Например, при вектор. Вектор определяет среднее арифметической значение весов в матрице по критериям с учетом мнения ЛПР об экспертах, выраженное матрицей. Элементы весового вектора можно нормировать, поэтому пусть вектор такой, что.

Применение данного метода нахождения вектора компромиссных экспертных оценок к решению многокритериальной динамической задачи основано на её скаляризации при помощи линейной свертки критериев. А именно, наилучшем решением задачи (1) объявляется то, которое доставляет, возможно, меньшее значение линейной свертке критериев. Применение МАИ к решению многокритериальных задач на основе линейной свертке критериев обосновано в [5,8].

На содержательном уровне в многокритериальной динамической задаче ЛПР, учитывая мнение экспертов и свое мнение об экспертах,  выбирает такую стратегию, которая доставляет, возможно, меньшие значения сразу всем критериям (4). Оптимальная пара находится как решение задачи (1).

Полученную многокритериальную динамическую задачу (1) необходимо свести к задаче оптимального управления (2)-(3) с функционалом качества

,                                        (6)

где вид матриц и учитывает мнение экспертов и ЛПР.

Решение задачи вида (2), (3), (6) подробно рассмотрены в [2, с.336 - 338].

Для его нахождения, воспользуемся алгоритмом применения принципа максимума Понтрягина, который является необходимым  условием экстремума функционала (6).

1. Составляем гамильтониан:

2. Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как ограничения на управление отсутствуют, можно применить необходимые условия безусловного экстремума:

Отсюда находим вид оптимального управления:

                                                 (7)

Найденное управление обеспечивает максимум функции Гамильтона по управлению, так как удовлетворяет достаточным условием максимума в силу положительной определенности матрицы.

3. Выписываем уравнение системы с учетом (7)  и условий трансверсальности:

,                 ,                                                               (8)

,         .

Таким образом, задача нахождения оптимального управления сводится к решению двухточечной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений (8).

Модельный пример.

Рассматривается двухкритериальная динамическая задача с двумя экспертными оценками и мнением ЛПР о компетентности экспертов. Динамическая управляемая система, представлена дифференциальными уравнениями и начальными условиями

,                 ,                                                (9)

,    

Здесь, ,. Заданы функционалы-критерии

,                                           (10)

.                                        (11)

Имеем оценку критериев экспертами, представленную матрицей. Оценка ЛПР относительно экспертов имеет вид. Тогда из выражения (5) находим вектор согласования мнений экспертов и ЛПР: . Нормированный вектор весовых коэффициентов для критериев (10) и (11) с учетом экспертных оценок и мнения ЛПР примет вид:

.                                                        (12)

На содержательном уровне цель ЛПР состоит в выборе такого управления, что доставляет, возможно, меньшее значение одновременно двум функционалам (10) и (11) с учетом экспертных оценок (12). Сводим полученную многокритериальную задачу к задаче оптимального управления (2), (3) и (6).

Здесь матрицы, , ,. Целевая функция (6) примет вид:

                                        (13)

Используя принцип максимума Понтрягина, рассмотренный выше, находим вид оптимального управления (7)

.                                                (14)

Имеем систему дифференциальных уравнений с краевыми условиями (8):

, ,

, ,

, ,

,.

Решением этой двухточечной краевой задачи является:

,

,

,.

Учитывая (12) находим вектор оптимального управления, где

,.

Значение функционалов качества (10) и (11) с учетом экспертных оценок (12):

,

.

Заключение.

В работе рассматриваются вопросы, связанные с выбором решений при наличии нескольких критериев. А именно, представлено решение многокритериальной динамической задачи с экспертными оценками. Экспертные оценки представляют собой количественную информацию об относительной важности критериев задачи. Такой же информацией обладает лицо, принимающее решение, высказывая мнение о компетентности экспертов. Оценки экспертов и ЛПР образуют иерархию, поиск весового компромиссного вектора подробно рассматривались в работах Саати (Метод анализа иерархий) и его последователей.

Здесь развивается оригинальный подход к решению многокритериальных задач при наличии количественной информации об относительной важности, как критериев, так и экспертов. Количество экспертов, а также их оценки могут меняться со временем. В этом случае нахождения весового компромиссного вектора, отражающего как мнение экспертов, так и мнение ЛПР, проводится линейная свертка критериев и решается задача оптимального управления стандартным способом, использую принцип максимума Понтрягина. Используя лишь конечный набор информации об относительной важности критериев и экспертов, можно найти единственное решение многокритериальной задачи

В статье представлен модельный пример двухкритериальной динамической задачи с двумя экспертными оценками и мнением ЛПР об относительной важности экспертов. Найдено в явном виде оптимальное управление и определены значения соответствующих критериев.

Литература:

1. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Основы динамического программирования. Минск., Издательство БГУ, 1975.
2. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 2003.
3. Жуковский В.И. Кооперативные игры при неопределенности и их приложения. М: Эдиториал  УРСС, 1999.
4. Орлов А.И. Экспертные оценки. Учебное пособие. - М.: 2002.
5. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
6. Саати Т.Л. Принятие решений при зависимостях и обратных связях: Аналитические сети. – М.: Издательство ЛКИ, 2008.
7. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. – М.: Финансы и статистика, 2001.
8. Ногин В.Д. Упрощенный вариант метода анализа иерархий на основе нелинейной свертки критериев// ЖВМиМФ, 2004, т. 44, № 7, С. 1259-1268.
9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.  576 c.