Анализ решения задачи о влиянии разных видов минимальных норм выпуска продукции в условиях отсутствия приоритета какого-нибудь вида продукции



Рассматривается влияние факторов производства на оптимальный выпуск продукции. В качестве факторов влияния выбирается минимальная относительная норма выпуска продукции первого вида ко второму виду и минимальная норма выпуска продукции второго вида. Задача рассматривается в условиях, когда нет предпочтения выпуска продукции какого-нибудь вида.

Ключевые слова: минимальная норма выпуска продукции, минимальная относительная норма выпуска продукции двух видов, оценка влияния фактора на доход предприятия, предпочтение выпуска продукции одного вида к другому.

Встатье [1, с. 24] была рассмотрена задача об использовании ресурсов с учётом возможного влияния двух факторов производства: минимальной относительной нормы выпуска продукции одного вида к другому и минимальной нормы производства второго вида продукции. При анализе решения этой задачи определялись условия производства, при которых наблюдалось влияние обоих факторов и оба ресурса при оптимальном плане расходовались полностью, рассматривалось решение задачи при разных значениях показателей эффективности производства продукции. Среди прочих условий производства использовалось свойство предпочтения выпуска продукции одного вида над другим [1, с. 26]. Анализ решения такой задачи в условиях предпочтения уже был проведён в работах, которые готовятся к печати. В этой работе предлагается рассмотреть случай, когда приоритета в выпуске продукции нет.

Постановка задачи. Предполагаем, что мы находимся в условиях производства, которые были определены в работе [1, с. 24].

Рассматриваем особое решение пары двойственных задач, для которого расходуются полностью оба ресурса, производство удовлетворяет обеим минимальным нормам.

В статье [1, с. 25] было показано, что решением прямой задачи будет план X^*=, оптимальные остатки ресурсов и отклонения от минимальных норм Y^*=.

Также в [1, с. 27] было найдено решение двойственной задачи: u₁*=,u₂*=,u₃*=,u₄*= .Решение являетсяне единственным, зависти от двух параметров t иs.Параметры удовлетворяют условиям: t≥0, s≥0, и.

Максимальное значение показателя эффективности производства Z_max=.

Для анализа решения задачи используем коэффициент k=, который был предложен для решения в работах [2] и [3] и определён в [1, с. 25]. Предполагаем, что k₁<k<k₂, где k₁=, а k₂=. Коэффициенты k₁ и k₂ также предлагаются для анализа в [2] и [3] и определяются в [1, с. 25]. Условие k₁<k<k₂ означает, что продукция производится без приоритета одного из видов.

Для решения двойственной задачи, в случае отсутствия предпочтения выпуска какого-нибудь вида продукции(k₁<k<k₂) значения коэффициентов при параметрах в неравенстве будут удовлетворять условиям: , а . В данной ситуации нужно более детально рассмотреть условия на параметры.

Рассмотрим три варианта условий на параметры t и s: , , . Последовательно определим условия на параметры для каждого варианта. В качестве дополнительного условия, связывающего параметры решения задачи, возьмём отношение параметров .

Пусть и t>0, s>0. Из этого условий следует: или . Для отношения параметров s и t выполняется условие: .

В частности, для предельных оценок использования ресурсов выполняется неравенство: .

Таким образом, для варианта получаем условия на параметры: t>0, s>0, при .

Пусть и t>0, s>0. Тогда для отношения параметров s и t выполняется условие при k₁<k<k₂: .

В частности, для предельных оценок использования ресурсов выполняется: .

Пусть и t>0, s>0. Получаем: . Из уравнения следует: или . Для отношения параметров s и t выполняется условие: .

В частности, для предельных оценок использования ресурсов выполняется неравенство: =<= или .

Для варианта получаем условия на параметры: t>0, s>0, ,.

Решение поставленных задач будем проводить методами линейного программирования, в частности, используя методы теории двойственности в линейном программировании.

Результаты исследования. 3.1. Проведём анализ решения двойственной задачи, предполагая, что есть баланс влияния минимальных норм выпуска продукции и по использованию ресурсов, считаем, что при оптимальном плане ресурсы используются полностью и продукция выпускается по минимальным нормам.

В отличие от производства с предпочтением для задачи будет большее количество случаев.

Первый случай: t>0, s>0, , .

Второй случай: t>0, s>0, , .

Третий случай: t>0, s>0, , .

Четвёртый случай: t=0, .

Пятый случай: s =0, .

3.2. Рассмотрим первый случай. Пусть t>0, s>0, , .

Тогда решение двойственной задачи будет иметь вид: u₁*=,

u₂*= , u₃*= , u₄*=0. Значения переменных удовлетворяют условиям: u₁^*>0, u₂^*>0, u₃^*<0, u₄^*=0.

Для этого оптимального плана двойственной задачи в прямой задаче только ограничение на минимальную норму n может быть строгим неравенством. Решение прямой задачи, когда ограничения на расход ресурсов ина минимальную относительную норму будут равенствами, является решением исходной задачи.

Оптимальный план такой задачи: X^*=. Он совпадает с планом .

Решение определяет влияние относительной минимальной нормы β₀ и запасов обоих ресурсов. Есть баланс использования обоих ресурсов и производства продукции A₂ по минимальной относительной норме β₀. Исходная задача переходит в задачу, в которой нет баланса по минимальной норме n.

3.3. Переходим к следующему случаю. В общем решении двойственной задачиt>0, s>0,, .Тогда решением двойственной задачи будет: u₁*=, u₂*= , u₃*=0, u₄*= . Теперь значения переменных удовлетворяют условиям: u₁^*>0, u₂^*>0, u₃^*=0, u₄^*<0.

Для этого оптимального плана двойственной задачи в прямой задаче только ограничение на минимальную относительную норму β₀ может быть строгим неравенством. Решение прямой задачи, когда ограничения на расход ресурсов и на минимальную норму второго вида продукции будут равенствами, является решением исходной задачи.

Оптимальным планом будет план X^*=. Он совпадает с планом . Решение определяет влияние минимальной нормы n и запасов обоих ресурсов. Есть баланс использования обоих ресурсов и производства продукции A₂ по минимальной норме n. Исходная задача переходит в задачу, в которой нет баланса по минимальной относительной нормеβ₀.

3.4. Теперь положим, что в общем решении двойственной задачи, t>0,s>0. Получаем: .

Значения параметров в этом случае равны: , . Тогда решением двойственной задачи будет: u₁*=, u₂*=,u₃*=0,u₄*=0. Теперь значения переменных удовлетворяют условиям: u₁^*>0, u₂^*>0, u₃^*=0, u₄^*=0.

Оптимальным планом прямой задачи будет план X^*=. Решение определяет только влияние запасов обоих ресурсов. Исходная задача переходит в задачу, в которой нет баланса по минимальной относительной нормеβ₀ и минимальной норме n.

3.5. Перейдём к случаю, когдаt=0, а . Значения переменных двойственной задачи: u₁^*=0, u₂^*=, u₃^*=, u₄^*=. Значения переменных удовлетворяют условиям: u₁^*=0, u₂^*>0, u₃^*<0, u₄^*<0.

В системе ограничений прямой задачи все ограничения при оптимальном плане, кроме первого, выполняются как равенства, так как u₂^*>0, u₃^*<0, u₄^*<0, а ограничение на использование ресурса R₁ может быть неравенством, так как u₁^*=0. Смотрим систему, когда первое ограничение является строгим неравенством. Оптимальный план прямой задачи X^*=. Производство определяется влиянием обеих минимальных норм β₀ и n и запаса ресурса R₂.

3.6. Теперь рассмотрим условие, когда >1, а s =0. Для параметра t: t>. Значения переменных двойственной задачи равны: u₁^*=, u₂^*=0, u₃^*=, u₄^*=. Оценим значения переменных: u₁^*=>0, u₂^*=0, u₃^*=<0, u₄^*=<0.

Условий на переменные двойственной задачи u₁^*>0, u₂^*=0, u₃^*<0, u₄^*<0.

Все ограничения при оптимальном плане, кроме второго, выполняются как равенства, так как u₁^*>0, u₃^*<0, u₄^*<0. Ограничение на использование ресурса R₂может быть неравенством, так как u₂^*=0. Поэтому рассматриваем систему, когда первое ограничение является строгим неравенством. Оптимальный план равен X^*=. Производство определяется влиянием обеих минимальных норм β₀ и n и запаса ресурса R₁.

Выводы. Вслучае отсутствия предпочтения выпуска продукции какого-нибудь вида при балансе использования ресурсов и влияния минимальных норм выпуска продукции решение двойственной задачи переходит в решение задач с влиянием трёх или двух факторов производства в зависимости от условий, накладываемых на параметр решения задачи.

1. При условии на параметры двойственной задачи t>0, s>0, , решение исходной задачи совпадает с решением двойственной задачи, в которой нарушается баланс на производство продукции А₂ по минимальной норме.
2. При условии на параметры двойственной задачи t>0, s>0, , решение исходной задачи совпадает с решением двойственной задачи, в которой нарушается баланс на производство продукции А₁ к продукции А₂ по минимальной относительной норме.
3. При условии на параметры двойственной задачи , t>0, s>0 решение исходной задачи совпадает с решением двойственной задачи, в которой нарушается баланс и на производство продукции А₁к продукции А₂ по минимальной относительной норме, и на производство продукции А₂ по минимальной норме.
4. При условии на параметры решения двойственной задачи t=0, исходная задача по решению двойственной задачи переходит в задачу с нарушением баланса на использование ресурса R₁.
5. При условии на параметры решения двойственной задачи s=0, t> исходная задача по решению двойственной задачи переходит в задачу с нарушением баланса на использование ресурса R₂.

Вопросы о переходе решения задачи о балансе влияния минимальных норм выпуска продукции двух видов и запасов двух ресурсов в двух в решение других задач рассмотрены в [6] и других статьях, которые готовятся к публикации или ожидают публикацию. Таких случаев четыре. Это переход при приоритете выпуска первого вида продукции, приоритете выпуска второго вида [6], а также когда коэффициент k равен k₁ или k₂.

Литература:

1. О. В. Мамонов. Решение задачи об использовании двух ресурсов для предприятия, выпускающего два вида продукции, с учётом влияния минимальной относительной нормы производства одного вида продукции к другому и минимальной нормы выпуска продукции второго вида// Агропродовольственная экономика: научно-практический электронный журнал. Нижний Новгород: НОО «Профессиональная наука» — No3–2018. — 22–41 с.
2. О. В. Мамонов. Анализ использования двух ресурсов предприятия с двумя видами продукции с помощью графического способа решения задачи линейного программирования// Агропродовольственная экономика: научно-практический электронный журнал. Нижний Новгород: НОО «Профессиональная наука» — No10–2016. — 7–42 с.
3. О. В. Мамонов, А. В. Конюхова. Влияния технологических факторов производства в случае использования двух ресурсов/ Теория и практика современной аграрной науки: сб. национальной (всероссийской) научной конференции (г. Новосибирск, 20 февраля 2018 г.) / Новосиб. гос. аграр. ун-т. — Новосибирск: ИЦ «Золотой колос», 2017. — с. 546–550.
4. О. В. Мамонов, Р. В. Луцик. Пример расчёта оценки влияния спроса на доход предприятия с двумя ресурсами: сб. трудов научно-практической конференции преподавателей, студентов, магистрантов и аспирантов Новосибирского государственного аграрного университета (г. Новосибирск, 16–17 октября 2017 г.), выпуск 2. / Новосиб. гос. аграр. ун-т. — Новосибирск: ИЦ «Золотой колос», 2017. — с. 246–249.
5. О. В. Мамонов, С. В. Егорова, А. А. Пугачёва. Влияние спроса продукции двух видов и запаса ресурса на эффективность производства/Теория и практика современной аграрной науки: сб. национальной (всероссийской) научной конференции (г. Новосибирск, 20 февраля 2018 г.) / Новосиб. гос. аграр. ун-т. — Новосибирск: ИЦ «Золотой колос», 2017. — с. 542–546.
6. А. В. Конюхова О. В., Мамонов. Анализ решения задачи о влиянии минимальной относительной нормы одного вида продукции к другому виду продукции, минимальной нормы второго вида продукции в случае баланса влияния обоих факторов, использования обоих ресурсов при приоритете выпуска второго вида продукции/ Актуальные направления развития аграрной науки в работах молодых учёных: сборник научных статей молодых ученых, посвященный 190-летию опытного дела в Сибири, 100-летию сельскохозяйственной науки в Омском Прииртышье и 85-летию образования Сибирского НИИ сельского хозяйства. ФГБНУ «Омский АНЦ». — Омск: ЛИТЕРА, 2018. — 194–198 с.