Эта работа посвящена исследованию предсопряженных пространств JBW-факторов, и приведён полученный результат, что если вещественный JBW-фактор 
не изоморфен спин-фактору или алгебре 
тогда его предсопряженное 
не является SFS-пространством.
Ключевые слова: JB-алгебра, JBW-алгебра, JBW-фактор, спин-фактор, 
-пространство, предсопряженное пространство
Введение
В теории операторных алгебр одной из важных задач является изучение йордановых алгебр.
В работе Я. Фридмана и Б. Руссо были введены гранево симметричные пространства, основной целью введения которых является геометрическая характеризация предсопряженных пространств 
-троек, допускающих алгебраическую структуру. Многие из свойств, требуемых в этих характеризациях, являются естественными предположениями для пространств состояний физических систем. Такие пространства рассматриваются как геометрическая модель для состояний квантовой механики.
В работе [1] было изучено предсопряженные пространства вещественных. JBW-факторов, а именно было доказано, что предсопряженное пространство вещественного JBW-фактора является SFS-пространством в том и только в том случае, когда он либо абелев, либо является спин-фактором.
Настоящая работа посвящена исследованию предсопряженных пространств JBW- факторов.
Основная часть
Пусть 
— банахово пространство над полем действительных чисел. 
называется йордаповой банаховой алгеброй (или JB-алгеброй), если в 
введена операция умножения 
, удовлетворяющая условиям:
1) 
для любых 
;
2)
для любых 
;
3) 
для любых 
и 
;
4) 
для любых 
;
5) 
для любых 
;
6) 
для любых 
.
Пусть 
JB-алгебра. 
называется JBW-алгеброй, если она обладает предсопряженным пространством, т. е. существует такое нормированное пространство 
, что 
.
Элементы 
из алгебры 
называются совместными, если выполняется 
.
Совместные элементы обозначается виде 
.
Для алгебры 
множество
называется центром. Если цент алгебры 
имеет вид
,
то алгебра 
называется JBW-фактором.
Пусть 
— некоторое вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением 
. Рассмотрим декартово произведение
и определим в 
произведение по формуле
,
где 
. Норму элементов в 
определим по формуле
.
С этим произведением и нормой алгебра 
является JBW-фактором с единицей 
, который называется спин-фактором ([2]).
Заметим, что
где
Двойственность между 
и его сопряженным 
задается формулой
.
Пусть 
– действительное или комплексное нормированное пространство. Элементы 
называются ортогональными, обозначение 
, если
.
Подмножества 
называются ортогональными, обозначение 
, если 
для всех 
. Для подмножества 
пространства 
положим 
и назовем ортогональным дополнением к 
. Выпуклое подмножество 
единичного шара 
называется гранью, если включение 
где 
влечет 
. Грань 
единичного шара называется выставленной по норме, если
для некоторого 
с 
. Элемент 
называется проективной единицей, если 
и 
при всех 
.
Выставленная по норме грань 
из 
называется симметричной гранью, если существует линейная изометрия 
из 
на 
такая, что 
и множество неподвижных точек которой в точности совпадает с топологической прямой суммой замыкания 
линейной оболочки грани 
и ее ортогонального дополнения 
, т. е. совпадает с 
.
Пространство 
называется слабо симметричным пространством (WFS-пространством), если каждая выставленная по норме грань из 
симметрична.
WFS-пространство 
называется сильно гранево симметричным пространством (SFS-пространством), если для каждой выставленной по норме грани 
из 
и каждого 
c 
и 
имеем 
, где 
– симметрия, соответствующая 
.
Используя некоторые утверждения из работ [1] и [2], мы получим следующую терему, как следствие теоремы из [3].
Теорема. Если вещественный JBW-фактор
не изоморфен спин-фактору или алгебре 
, тогда его предсопряженное 
не является SFS-пространством.
Литература:
- Ибрагимов М. М., Кудайбергенов К. К., Сейпуллаев Ж. Х. Геометрическая характеризация вещественных JBW-факторов // Владикавк. мат. журн. 2018. Том 20, вып. 1. С. 61–68.
- Аюпов Ш. А. Классификация и представление упорядоченных йордановых алгебр // Ташкент: Фан, 1986. 124 с.
- Ибраимов И. Е., JBW-алгебралардын геометриялык характеризациясы // Мaгистрaнтлaрдың илимий мийнетлериниң топламы. Нөкис, 2019.
- Friedman Y., Russo В., A geometric spectral theorem // Quart. J. Math. Oxford. -1986. -Vol. 37(2). — P. 263–277. DOI: 10.1093/QMATH/37.3.263
- Friedman Y., Russo B., Some affine geometric aspects of operator algebras // Pacif. J. Math. -1989. — Vol. 137 (1). -P. 123–144. DOI: 10.2140/pjm.1989. 137.123
