Математическая модель возникновения культурных центров и течений в живописи



В работе на основе анализа развития древнегреческих полисов разработана эволюционная модель возникновения культурных центров. Учитывается постепенное изменение текущей концепции культурной самоорганизации общества, происходящее под давлением внутренних и внешних причин. Забытые в длительный период становления христианства механизмы смены течений в искусстве в античный период, восстановленные в эпоху проторенессанса, моделируются с применением аппарата обыкновенных дифференциальных уравнений. Теоретические результаты сопоставляются с статистическими данными.

Ключевые слова: античность, импрессионизм, математическое моделирование, дифференциальные уравнения.

Введение

Древнейшие цивилизации возникли V-III тысячелетиях до н. э. на территории Передней Азии. Переход от первобытного строя к цивилизации, основанной на рабстве, сопровождался созданием искусственной среды обитания человека — преобразованием окружающей среды и созданием интеллектуальной среды. Культура и религия лежали в ее основе. Искусство как один из основных элементов культуры, в те далекие времена тяготело к грандиозным монументальным геометрическим формам [6, 17, 22]. Творения древних цивилизаций, дошедшие до нас, это храмы, дворцы, культовые и инженерные сооружения и их сохранившиеся элементы. Сохранилось и много артефактов культуры, таких как расписанные сосуды, погребальные маски, настенные рельефы. Произведения живописи VI-III тысячелетий до н. э. практически не сохранились. Хорошо сохранившиеся настенные росписи гробниц и дворцов относятся уже к середине II тысячелетия до н. э. [6].

И если живопись человека в 15 тысячелетии до н. э. представляла собой хаотическое однотипные изображение животных окружающего мира [5, 6], то произведения художников II тысячелетия до н. э. в отдельных очагах цивилизаций представлены законченными сюжетами с изображением животных и человека, как главного действующего лица. Из анализа сюжетов, дошедших до нас произведений из этого периода и техники создания изображения, с уверенностью можно говорить о существовании небольших групп художников, работающих у царей. До нас не дошли имена авторов творений того времени. Имена художников, архитекторов и скульпторов или упоминания о городах, в которых они работали, пришли к нам из античного периода.

В разных частях средиземноморья и передней Азии возникали, начиная с третьего тысячелетия до н. э. вплоть до начала эпохи Возрождения, очаги культур, внесших значимый вклад в культуры всех народов. На рис. 1 отражено время интенсивного развития 18 культур, существовавших до начала эпохи Возрождения [6]. Некоторые из них существовали тысячелетия, а некоторые несколько веков. Упадок этих культур начинался с упадком экономических отношений или с возникновением длительных внешних и внутренних вооруженных конфликтов [20]. Но во все времена всегда одновременно существовали и затухающие, и развивающиеся культуры (рис. 1). Постоянно возникали и новые стили, и новые технологии в живописи, архитектуре и скульптуре. На рис. 2 отражена динамика их возникновения, согласно данным работы [6]. Символом «о» отмечены ключевые даты. Всего учтено 90 «новых технологий». Как следует из статистических данных, процесс накопления информации был необратимым (в первом приближении линейным, рис. 2), и со временем «новые технологии» в живописи, скульптуре, архитектуре и на других направлениям в культурной среде становились достоянием всех цивилизаций.

Рис. 1.

Рис. 2.

Стихийное на первый взгляд развитие культурной составляющей в отдельных очагах цивилизаций в доисторические времена с созданием письменности в IV тысячелетии до н. э. становится самоорганизующимся. За счет письменных источников знания распространяются на большие территории и передаются во времени будущим поколениям. В цивилизации рождаются писатели, поэты, архитекторы, живописцы, ученые, инженеры и все те, кто изменяет культурную среду обитания человека. Наиболее интенсивные изменения в культуре начались в конце II тысячелетия — в начале I тысячелетия до н. э. в Древней Греции [5, 3, 21].

Античный период

Корни античного периода лежат в XI-IX веках до н. э. В этот период в Средиземноморье возникают греческие города — государства, гражданами которых были востребованы произведения художников, скульпторов, архитекторов [5, 13]. В VIII — VII веках до н. э. возникают школы со своими стилями в архитектуре, скульптуре, живописи: спартанская, критская, аргосская, сикионская, ионийская [3]. Живопись этого периода представлена сосудам и вазами, расписными геометрическими фигурами. К VIII веку до н. э. в росписи сосудов художники достигли совершенства [3, 21]. Изменятся и тематика изображений. На вазы наносятся орнаменты, изображения птиц, животных, фантастических существ. В VI веке до н. э. орнамент на вазах исчезает, преобладающим становится мифологический сюжет. В V веке до н. э. важнейшим образом в живописи становится человек. Меняется и технология нанесения рисунка. От чернофигурной вазописи, когда черный рисунок наносится на оранжевый фон вазы, происходит переход к краснофигурной вазописи — оранжевый рисунок переносится на черный фон вазы. На рис. 3 отражено изменение основных этапов вазописи в античный период: число работающих художников в VII-III веках до н. э. [21]. Как следует из статистических данных на изменение стиля в вазописи уходило около 200 лет. Интерес в обществе к вазописи стал пропадать, начиная с V века до н. э. Некоторые работы вазописцев сохранились до наших дней и находятся в музеях мира. Работы Евфрония (VI век до н. э.) — «Смерть Сарпедона» (Нью-Йорк, Метрополитен-музей), «Геракл и Антея» (Париж, Лувр), «Играющие гетеры» (Санкт-Петербург, Государственный Эрмитаж).

Рис. 3.

В VI-V веках до н. э. живописцы и скульпторы создают сочинения об искусстве (Теодор — VI век до н. э., Полтклет — V век до н. э., Пифей — IV век до н. э.). Писатели составляют биографии художников, философы описывают их работы (Дурид Самосский — IV век до н. э.). Известны имена около 400 древнегреческих живописцев и вазописцев и около 1200 имен скульпторов, работавших в Древней Греции [18, 19, 21]. Наибольшее число скульпторов и живописцев были греками. Но в античный период появились и художники в городах Сирии, Египта, Малой Азии, Испании и Португалии [7]. По данным работы [21] в Древней Греции было не менее 50 центров, объединяющих несколько городов, в которых работали живописцы, скульпторы и архитекторы. И как минимум 25 центров, которые постоянно функционировали на протяжении нескольких веков в более чем 300 городах Греции (Александрия, Афины, Коринф, Парос, Рим, Фивы и др.). В табл. 1 приведены географические названия 10 культурных центров и время их функционирования.

Таблица 1

Центр	Время функционирования (века до н. э.)
Афины	VII — I
Аргос	VII — II
Сикион	VI — III
Беотия	VI — III
Аттика	V — I
Галикарнас	V — II
Делос	VII — II
Коринф	VI — I
о. Родос	VI-I
Дельфы	VII — II

В VII-VI веках до н. э. в живописи сформировались различные жанры. В культурных центрах мастера живописи готовят специалистов по раскраске кораблей, театральных декораторов, копиистов, карикатуристов, пейзажистов, портретистов, мастеров натюрмортов и миниатюр [19, 21]. Из литературных источников известно о существовании произведений живописи: «Летящая Ника» Аглаофона из Фасоса (VI в до н. э.), «Артемида на грифоне» Аренона из Коринфа (VII в до н. э.), «Битва магнезийцев с царем Кандавлом» Буларха из Самоса (VII в до н. э.), «Рождение Афины» Клеанфа из Коринфа (VII в до н. э.). IV веком до н. э. датируются портрет «Атлета Диоксиппа» Алкимаха из Афин, портрет «Воина со щитом» Антидота, «Александр Македонский мальчик» Антифила из Египта, «Жертвоприношение быка» и «Доблесть» Аристолая, «Свадьба Александра и Роксаны» Аэтиона из Ионии. В табл. 2 приведены оценочные данные по количеству произведений, посвященных пяти жанрам (учтено 198 произведений). Как следует из этой оценки, наибольший интерес в обществе вызывали произведения на мифологические темы.

Таблица 2

Сюжет	Доля произведений
Мифологический	0.33
Портрет	0.22
Исторический	0.17
Аллегория	0.15
Жанровый	0.13

Художники регулярно встречаются между собой, знакомятся с работами коллег, устраивают выставки. Организуются конкурсы, многочисленные любители живописи приобретают произведения художников, а меценаты оказывают материальную поддержку, цари приглашают художников работать во дворцах: тиран Элатаи Мнасон (IV в. до н. э.), царь Диметрии Полиоркет (IV в. до н. э.), император Веспасиан (IV в. до н. э.), тиран Аристрат (IV в. до н. э.). Произведения искусства распространяются по всем государствам [13, 18, 19, 21].

С начала V века до н. э. Греция ведет войны с Персией, а затем возникают внутренние греческие военные конфликты, длившиеся до середины IV века до н. э. Войны, длившиеся около 150 лет, нанесли большой урон экономике Греции. После объединения греческих государств в конце IV века до н. э. началось военное вторжение греков во главе с Александром Македонским в Переднюю Азию. Попытка Македонского создать империю из разных народов с разным культурным наследием была обречена на неудачу [13, 20]. Создаваемые государство распалось сразу после его смерти.

Итог длительных войн — Греция потеряла значительную часть генетического фонда в лице юношей, не вернувшихся на родину. А за 200 лет «военного мышления» окончательно изменилось направление культурного развития Греции, нанесло невосполнимый ущерб культуре древнегреческих государств. На рис. 4 отражено распределение доли деятелей культуры (учтено 3200 имен) по векам с VII по I век до н. э. Как следует из анализа статистических данных и исторических событий того времени, начиная с IV века до н. э. начинается упадок греческой культуры, вызванный, прежде всего, длительными войнами. Падение интереса к искусству сопровождалось и падением уровня мастерства художников. Медленно происходит смена технологий, манер письма, сюжетов произведений. Наступает застой в творчестве. На рис. 5 отображена длительность 11 периодов в творчестве художников, архитекторов, скульпторов [19]. Символом «*» отмечены даты их окончания, вертикальными пунктирными линиями выделен период непрерывных войн. Наиболее быстро развитие живописи происходило с VI по IV до н. э. Начиная с 400-х годов до н. э. время поиска новых форм и техник в живописи удлиняется, начинается застой (рис. 4–5).

Рис. 4.

Рис. 5.

Во II веке до н. э. римляне завоевали Грецию, стали вывозить произведения искусства в Рим. Храмы и памятники стали постепенно разрушаться. Начинается процесс потери культурного наследия, создававшегося несколько веков, и его забвение. Центр эллинского искусства перемещается в Рим [13, 18, 21].

Математическая модель возникновения центров культуры

На рубеже XI-IX веков до н. э. на территории Древней Греции возникают школы живописи в городах Греции [3, 21]. Художники, работающие в городах, и их ученики постепенно под влиянием спроса на произведения искусства в разных городах-государствах постепенно переезжают в разные города Греции и ее ближайших соседей. Постепенно на какое-то время возникают центры культуры, которые под влиянием внешних и внутренних факторов погибают и со временем возрождаются вновь уже в другом качестве. Для их устойчивого существования необходимы стабильная экономика, востребованность произведений искусства обществом и художники, способные обеспечить потребности общества. Эти три фактора не всегда возникали одновременно, а когда это и происходило, то происходило случайным образом во времени.

Введем количество предметов живописи , которое в возникшем центре культуры создано на текущий момент времени. Будем считать, что скорость создания новых предметов живописи пропорциональна их количеству, но ограничена возможностями культурной и экономической среды, в которых они создаются. Тогда за уравнение эволюции культурного центра примем дискретный аналог логистического уравнения [10]:

,

,,(1)

где — удельная скорость накопления произведений, — количество произведений, которое может быть создано, — доля созданных произведений, которые перемещаются в другие центры, — дискретное время.

При заданном значении все значения определяются из соотношения

, .

Эта последовательность имеет две стационарные точки:

, если ,

и , если .

Это соответствует физическому смыслу: если ценности в центре будут убывать быстрее, чем воспроизводятся, то культурный центр придет в упадок.

Введем центров, каждый из которых может создавать материальные ценности согласно уравнению (1) самостоятельно:

,.(2)

То есть значения удельных скоростей накопления произведений и их возможные максимальные значения для каждого центра свои. Эти условия подразумевают, что максимально возможное производимое количество ценностей и скорость их производства зависят от экономического состояния центра и его культурного уровня.

Как следует из анализа статистических данных, культурные центры в Древней Греции возникали в отдельных местах и постепенно распространялись во времени по городам-государствам [19]. Примем, что распространение ресурсов в момент времени происходит только из центра с максимальным значением ( — номер такого центра) и только в центр с минимальным значением ( — номер этого центра). Тогда для этих двух центров уравнения (2) принимают вид

,

.(3)

Для остальных центров выполняются соотношения (2).

К соотношениям (2) и (3) необходимо добавить начальные данные:

, ,

которые допускают наличие в начальный момент времени только одного центра.

Заселение территории Древней Греции разными племенами происходило не по какому-то разработанному плану, а случайным образом. Жители поселений имели разное представление об окружающем мире, разный уровень инженерных и сельскохозяйственных знаний, разные возможности в создании материальных ценностей. Поэтому параметры и в (2) и (3) выбирается случайным образом из диапазона , а параметры — из диапазона , где и заданные значения. Параметр принимается равным 0.2, то есть допускается за один временной шаг передать до 20 % материальных ценностей из одного центра в другой.

По данным [21] на территории Древней Греции и на близких к ней территориях было не менее 300 культурных центров. С учетом этого значения в расчетах было принято, что максимальное число центров к концу I века до н. э. могло достигнуть 500. Поэтому результаты моделирования приведены для , при этом один временной шаг соответствует одному году, а одному веку соответствуют 100 шагов. На рис. 6 отражены результаты расчетов для 5 000 выборов случайных значений и (, ). Сплошная линия соответствует среднему значению возникших центров, а пунктирные линии соответствуют минимальным и максимальным значениям, полученным при моделировании.

Рис. 6.

Как следует из полученных результатов, при выбранном наборе параметров из 500 центров в 24 % из них материальные ресурсы через 1000 единиц времени в рамках модели (2) — (3) производиться не будут. В 2 % будет создано только 11 % от максимально возможного в центре, в 4 % — 31 %, в 8 % — 50 %, в 18 % — 70 %, в 44 % — 90 %. То есть около 50 % центров будут высоко развитыми.

Будем считать, что центры расположены на двумерной территории. Примем, что система центров, в которых могут возникнуть школы на территории, является дискретной. Каждому центру припишем двойной номер в виде индексов так, что будет означать число произведений в этом центре. На каждом такте из центра, в котором максимальное значение доля произведений перемещается в центр, в котором минимальное значение в -й дискретный момент времени

,

а для всех остальных центров

.

Общее количество предметов, созданных на текущий момент времени подсчитывается как сумма произведений всех центров

.

Влияние экономической деградации и военного давление на культуру учтем следующим образом. Будем считать, что в момент времени начинается уменьшение скорости производства за счет внешних факторов

и за счет внутренних причин

.

То есть в этой модели из-за внешнего давления происходит уничтожение части произведений на величину , при этом , поскольку уничтожить все материальные ресурсы мгновенно невозможно. А из-за внутренних причин происходит постепенное уменьшение удельной скорости создания произведений. На рис. 7–8 представлены результаты численного моделирования для случая 25х25 центров. Параметры выбирались случайным образом для всех центров из диапазона , параметры — из диапазона , параметры — из диапазона . «Деградация» начиналась после достижения значения 350. Значение принималось равным 0.2. Для 25000 экспериментов со случайным выбором параметров в каждом эксперименте на рис. 7 отражено изменение в зависимости от по школе веков (один век соответствует 100 тактам), а на рис. 8 отражено распределение числа случаев по времени (по шкале веков) достижения максимума .

Рис. 7.

Рис. 8.

Таким образом, предложенная дискретная модель, основанная на случайном перемещении ресурсов от наиболее развитого центра к менее развитому центру и случайном распределении возможностей центров, качественно отражает эволюцию культурного пространства Древней Греции.

Возрождение

После падения Римской империи в IV веке на ее месте возникли две империи: Западная и Восточная Римская империи. В искусстве Западной империи, в основном, фигурировали предметы быта. А в искусстве Восточной империи преобладали иконы, мозаики, фрески [11, 12]. Центром творческих сил христианского мира стала Византия. Основные силы были направлены на создание икон и роспись стен культовых сооружений. Очень быстро сложились каноны, диктовавшие что и как изображать, по которым не допускалось привносить художнику свое видение событий. И все творчество художников было ограничено веками этими канонами.

Отход от канонов начинается в конце XIII века художниками эпохи проторенессанса [6]. Постепенно происходят качественные изменения во взглядах художников, появляются новые идеи в живописи, совершенствуется техника исполнения, происходит переосмысливание наследия античности. Накопленное новое знание и осознание значимости творений прошлого, длившееся более ста лет, приводит к появлению к концу XIV века группы художников, отказывающихся от многовековых канонов. Начинается возрождение живописи, отражающей все стороны человеческого общества, человека как личности. Эпоха Возрождения делится на три периода: раннее, высокое и позднее [6]. Каждый период возникал в недрах предыдущего. На рис. 9 отражено изменение числа художников каждого периода во времени.

Рис. 9.

Эпидемическая модель. Как показывает анализ статистических данных по численности художников и числа созданных ими картин в каждый из периодов можно описать на основе модели эпидемий [8]

(4)

где — число художников, которые готовы уйти от канонов соответствующего периода, — число художников, активно работающих в соответствующем периоде, и — параметры. На рис. 10 отражено расчетное число художников (пунктирная линия) и статистические данные, отмеченные символом «*» для проторенессанса (, , , ) и раннего Возрождения (, , , ). Подбор параметров осуществлялся из условия минимума среднеквадратичного отклонения расчетных значений от статистических данных.

Рис. 10.

Эволюции проторенессанса определялась числом художников, степенью их увлеченности новыми идеями, скоростью ухода в новые направления. Это зависело от общего состояния культурной среды и востребованности общества в реализованных новых произведениях. В модели (4) это отражено в параметрах и и начальном числе художников . Будем считать, что эти параметры могли отличаться от приведенных выше (базовых) на 10 %. Тогда при каждом наборе этих параметров будет получена своя зависимость . Выбор этих отклонений параметров случайным образом позволит при большом числе экспериментов оценить границы изменения функции , найти усредненную траекторию и оценить интервал достижения максимума функции . На рис. 11 для 20 000 экспериментов отражена траектория наиболее вероятного быстрого подъема проторенессанса (max, пунктирная линия), наиболее медленного (min, пунктирная линия). Сплошной линией отмечена усредненная траектория, символом «*» отмечены статистические данные. Диапазон достижения экстремума () отмечен вертикальными пунктирными линиями. Таким образом, в полученной оценке эволюционной траектории пик проторенессанса мог наступить в любой период XIV века.

Рис. 11.

В эпоху Возрождения в разных городах Италии возникали школы художников [2, 6]. На рис. 12 отражена динамика изменения числа действующих на текущий момент художников в Риме, Болонье, Флоренции. Как следует из этих данных школы художников как организованные структуры необходимые обществу в основных городах Италии стали возникать уже в период высокого Возрождения. Период их существования определялся и периодом интереса общества к создаваемым произведениям.

Рис. 12.

Насыщение общества произведениями искусства эпохи Возрождения длилось около 200 лет. В недрах позднего Возрождения зарождаются новые течения такие, как барокко, рококо, академизм [1, 2, 4, 6]. Изменение числа работающих в этих направлениях художников от времени отраженно на рис. 13. Для барокко статистические данные отмечены символом «*». Для стиля рококо на рис. 14 отражена динамика созданных произведений, учтено 2 500 картин разных художников. Пунктирная линия соответствует логистической кривой (, ), статистические данные отмечены символом «*».

Рис. 13.

Рис. 14.

Модель ресурсная. Течения и стили в живописи начиная с эпохи проторенессанса постоянно возникают в недрах основного стиля, существующего на текущий момент [1]. Постепенно число художников нового стиля или течения в живописи увеличивается до некоторого значения, а потом начинает уменьшаться (рис. 3, 9, 13). Стиль в XII-XVIII веках существовали несколько десятилетий, а течения и несколько столетий. На таких временных интервалах происходила смена поколений художников. Изменялись экономические отношения и социальная структура общества. Молодые художники в новых условиях существования общества с изменившимися за десятилетия интересами начинали искать новые подходы в живописи, которые воспринимались с интересом в обществе. Постепенно происходит смена поколений и художников и любителей живописи, интерес к существующим стилям начинает угасать. Поскольку интерес к искусству всегда существовал, с доисторических времен, то в обществе всегда существует большая группа лиц, которые готовы поддержать новый стиль и морально, и материально. Начинает развиваться новое направление (течение).

Поскольку направления сменяют друг друга, то припишем последовательно сменяющим направлениям номер , где — число направлений. Течение с номером возникает в развитом течении с номером и в нем зарождается течение с номером .

Примем, что течение характеризуется числом художников и числом любителей этого направления . Примем, что увеличение числа художников происходит только в том случае, если есть любители живописи. Часть художников может переходить в новое направление, а в старое не переходит, поскольку интерес к старому направлению угасает.

Группу художников конкретного направления можно рассматривать как популяцию, численность которой увеличивается до некоторого порогового значения. В первом приближении можно принять, что скорость увеличения численности с учетом миграции описывается уравнением [10]

,(5)

где — удельная скорость роста популяции при малой ее численности, — максимальное количество особей, — доля особей, покидающих популяцию.

Модель (5) не учитывает влияние лиц, поддерживающих конкретное течение. Учет влияния поклонников учитывается в модели

(6)

где — число поклонников.

В качестве начальных условий принимаются

, ,

где — малая величина по сравнению с , а — по сравнению с .

При малых значениях первое уравнение в линейном приближении принимает вид

При выполнении условия (при малой доли участников покидающих течение) численность художников будет увеличиваться. Но, поскольку число любителей постоянно уменьшается, то численность художников начнет со временем уменьшаться.

В модели (6) в отсутствие любителей (при ) численность художников будет уменьшаться. При большом числе любителей (при ) их численность не влияет на скорость роста числа художников и их численность описывается уравнением (5). Численность любителей при большом их числе на момент начала формирования течения значительно не увеличивается, поскольку с одной стороны течение морально начинает устаревать, а с другой стороны и часть культурного общества новое течение отвергает. Поэтому численность любителей со временем не увеличивается и постоянно убывает.

Модель рождения и гибели направлений представлена следующей системой дифференциальных уравнений [10]

,

,

В качестве начальных условий принимаются

,

, .

Эти начальные данные подразумевают, что в начальный момент времени художники формируют только первое течение, а остальных течений еще нет. В то же время в обществе всегда есть группа лиц, которые в какой-то момент смогут заинтересоваться новым течением.

На рис. 15 для случая отражено изменений функций , и от времени при «базовых» значениях параметров: , , , , , , , , , , , , , , . Принималось, что в начальный момент времени (при ): , , , , , .

Оценка возможной эволюции одного течения осуществлялась следующим образом: решение уравнений (6) строилось при различных значениях констант, отличающихся от «базовых» не более чем на 10 %, выбранных случайным образом. На рис. 16 для случая 10 000 экспериментов отражена «средняя» зависимость от времени (сплошная линия), и зависимости с максимальными значениями () и минимальными (). Вертикальными линиями отмечены временные границы достижения максимального значения функции в этих экспериментах. Время достижения максимума лежит в диапазоне шириной около 20 единиц времени при 150 единицах времени существования течения. Численное моделирование осуществлялось в среде программирования математического пакета MatLab [9].

Рис. 15.

Рис. 16.

Импрессионизм

В XIX веке произошел качественной скачок в создании сюжетов и технике исполнения. Возникает новое направление, отказавшееся от канонов эпохи Возрождения, стилей и направлений из него выросших. Таким течением стал импрессионизм, принесший новые техники и подходы в искусстве [14, 16]. Наиболее известными его представителями являются такие художники, как Ван Гог (1853–1890), Клод Моне (1840–1926), Камиль Писсаро (1830–1903), Огюст Ренуар (1841–1870), Эдгар Дега (1834–1917) [16]. Родиной течения принято считать Францию. Истоки импрессионизма лежат в борьбе романтизма с классическими канонами в живописи. В своем несогласии с общепринятыми нормами искусства, желании найти новые формы и свежие идеи в живописи, художники объединились в свою собственную группу, став своеобразным “ядром” нового течения. Несмотря на то, что первые выставки художников терпели неудачи, число их последователей росло, а импрессионизм получил распространение по всей Европе, охватив поэзию, театр, литературу.

Пик творчества импрессионистов приходится на 1890-е годы. За 15 лет художники от первоначального неприятия общественностью пришли к огромной славе, что в свою очередь привело и к финансовому успеху. В тот период в новом течении участвуют сотни художников таких стран, как Голландия, Великобритания, Италия, Испания, Бельгия, США. С распространением импрессионизма начинают формироваться и группы его ценителей. Среди них известные писатели (Аристид Брюан, Эмиль Золя, Ги де Мапасан), критики (Теодор Дюре, Феликс Фенеон, Матье Жеффруа, Эмиль Бержера), коллекционеры и владельцы галерей (Поль Гаше, Гастон Бернхейм, Поль Дюран-Рюэль). Спад интереса к импрессионизму начался в конце XIX века [16].

На рис. 17 показано распределение 6833 картин импрессионистов по годам за каждые 10 лет. Распределение числа действующих художников приведено на рис. 18. Экстремум в этой зависимости приходится на 1881 год. На рис. 19 отражено изменение числа публикаций, посвященных импрессионистам [15] в сумме за каждые три года (учтено 580 публикаций). Как следует из статистических данных интерес к новому течению у специалистов стал угасать одновременно с уменьшением числа художников этого течения (рис. 17–18).

Рис. 17.

Рис. 18.

Рис. 19.

Изменение числа написанных картин во времени из 6833 учтенных, отражено на рис. 20. Эта зависимость описывается логистическим уравнением:

.

Аппроксимирующей зависимости (, ) на рис. 20 соответствует сплошная линия, статистические данные отмечены символом «*». Интерес к импрессионизму ценителей живописи можно оценить по числу публикаций (рис. 19), посвященных этому течению, общее количество которых описывается логистической зависимостью с удельной скоростью . Близкие значения удельных скоростей роста этих зависимостей можно рассматривать как совместную заинтересованность и зрителей, и художников в создании новых произведений. Со временем художники начинают находить новые решения, для зрителей течение становится морально устаревшим, и оно начинает угасать.

Рис. 20.

Модель возникновения нового течения на примере импрессионизма

Будем считать, что есть некоторое предельное значение числа художников, ниже которого численность популяции художников не сможет увеличиваться и будет убывать. Эта нижняя граница зависит от экономического благосостояния и культурного уровня страны, от востребованности обществом произведений живописи. То есть малочисленная популяция художников для общества может погибнуть.

Введем две группы художников численностью и каждая. Первая группа художников работает по общепринятым канонам. У части участников этой группы возникают новые идеи, и они постепенно образуют новую группу с новыми подходами в живописи. Примем, что переход во вторую группу происходит за счет влияния участников второй группы на участников первой группы. С учетом этих предположений модель возникновения новой группы представлена задачей Коши для системы двух обыкновенных уравнений

(7)

где , , и — параметры.

В первом уравнении рассматривается как граница численности первой группы, ниже которой начнется непрерывное уменьшение ее численности. Этот параметр должен удовлетворять неравенствам . Слагаемое — скорость перехода участников первой группы во вторую за счет их агитации участниками второй группы. Слагаемое во втором уравнении рассматривается как скорость ухода части участников второй группы из группы, вызванная разочарованием новым направлением.

К системе уравнений (7) добавляются начальные условия при :

, ,

где . Эти условия подразумевают, что формирование новой группы начинается в начальный момент времени с малой ее численности. Численность первой группы принята равной единице.

Система уравнений (7) имеет четыре стационарные точки.

1. , .

В этой стационарной точке собственные значения матрицы правой части уравнений (7) будут отрицательными: , и, соответственно, эта точка будет устойчивой.

2. , .

В этой стационарной точке , . Поскольку одно из собственных значений положительное, то эта стационарная точка будет неустойчивой.

3. , .

В этой точке ,. Неравенство обеспечивает отрицательность собственных значений и устойчивость этой стационарной точки. В противном случае (при ) эта точка будет неустойчивой.

3. , .

Эта точка реализуется, если параметр удовлетворяет условиям . Матрица Якоби правой части уравнений (7)

будет иметь собственные значения с отрицательной вещественной частью, если выполняется условие . Накладываемые условия на параметр , которые обеспечивают устойчивость существования двух групп, не что иное, как требование достаточно быстрой убыли художников второй группы. На рис. 21 для случая , , , отражена зависимость . Статистические данные (импрессионизм, рис. 18), в предположении наличия в первой группе 3 500 художников отмечены символом «*». В рамках этого результата следует, что около 8 % художников от общего числа представляли новое течение, а на начальном этапе их число составляло около 0.1 % от общего количества художников.

Рис. 21.

Заключение

Модель возникновения культурных центров, разработанная на основе анализа античного периода, описывает начальный этап возникновения центров живописи, архитектуры и скульптуры, распространения информации в культурном слое и ее передачи в будущее. Модель учитывает смену культурного направления эволюции общества на иные направления, вызванную внешними и внутренними причинами.

Разработанные модели возникновения течений отражают начальный этап формирования нового течения, и согласуется со статистическими данным по трем эпохам Возрождения, и таким течениями как барокко, рококо, академизм. Она представляет собой модель хищник-жертва с учетом эффекта Олли для популяции жертвы. В роли хищника выступают художники нового направления, а в роли жертвы — художники, которых может заинтересовать новое направление. Процесс формирования нового направления, как следует из анализа статистических данных, можно рассматривать на основе обоюдного интереса к новому и художников, и членов социального общества. Поэтому в качестве «жертвы» в модели могут выступать и члены общества, поддерживающие новое направление.

Литература:

1. Аксенова А. С. История искусств. Просто о важном. Стили, направления течения / А. С. Аксенова. — М.: Эксмо, 2019. — 208 с.
2. Андреев А. Н. Живопись и живописцы главнейших европейских школ / А. Н. Андреев. — СПб.: тип. Вольфа, 1857. — 579 с.
3. Виппер Б. Р. Искусство Древней Греции / Б. Р. Виппер. — М.: Изд-во В. Шевчук, 2017. — 560 с.
4. Даниэль С. М. Рококо: от Ватто до Фрагонара / С. М. Даниэль. — СПБ.: Издательская группа «Азбука-классика», 2010. — 336 с.
5. Дмитриева Н. А. Краткая история искусств. Вып. 1. От древнейших времен по XVI век. Очерки / Н. А. Дмитриева. — М.: Искусство, 1985. — 319 с.
6. Искусство. Всемирная история / Под ред. С. Фарсинга. — М.: ООО «Магма», 2015. — 576 с.
7. Каптерева Т. П. Античное искусство Испании и Португалии / Т. П. Каптерева. — М.: Изобразительное искусство, 1997. — 200с.
8. Колесин И. Д. Принципы моделирования социальной самоорганизации / И. Д. Колесин. — СПб.: Изд-во «Лань», 2013. — 288 с.
9. Колпак Е. П. Вычисления в Matlab: учебное пособие / Е. П. Колпак. — Казань: Изд-во «Бук», 2016. — 184 с.
10. Колпак Е. П. Математические модели одиночной популяции / Е. П. Колпак, Е. А. Ефремова. — Казань: Изд-во «Бук», 2017. — 122 с.
11. Колпакова Г. Искусство Византии. Ранний и средний периоды / Г. Колпакова. — СПб.: Издательская группа «Азбука-классика», 2010. — 528 с.
12. Куглер Ф. Руководство к истории живописи со времен Константина Великого / Ф. Куглер. — М.: тип. Гречева, 1872. — 911 с.
13. Куманецкий К. История культуры Древней Греции Рима / К. Куманецкий. — М.: Высш. шк., 1990. — 351 с.
14. Мосин И. Г. Мировое искусство (Мастера итальянского Возрождения) / И. Г. Мосин. — СПб.: ООО «СЗКЭО Кристалл», 2006. — 224 с.
15. Оейтерсверд О. Импрессионисты перед публикой / О. Оейтерсверд. — М.: Издательский дом «Рип-холдинг», 2016. — 287 с.
16. Ревалд Дж. История импрессионизма / Дж. Ревалд. — М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, Э АСТ. 2012. — 470 с.
17. Семенов В. Первобытное искусство: Каменный век. Бронзовый век / В. Семенов. — СПб.: Азбука-классика, 2008. — 592 с.
18. Суриков И. Е. История и культура Древней Греции: Энциклопедический словарь / И. Е. Сурикова, В. С. Ленская, Е. И. Соломатина, Л. И. Тараушвили. — М.: Языки славянских культур, 2009. — 792 с.
19. Тараушвили Л. И. Искусство Древней Греции / Л. И. Тараушвили. — М.: Языки славянских культур, 2004. — 336 с.
20. Тойнби А. Д. Исследование истории. Возникновение, рост и распад цивилизаций / А. Д. Тойнби. — М.: АСТ: АСТ Москва, 2009. — 670 с.
21. Чубова А. П. Античные мастера. Скульпторы и живописцы / А. П. Чубова, Г. И. Конькова, Л. И. Давыдов. — Л.: Искусство, 1986–251 с.
22. Энциклопедия искусства Древнего мира / М.: ОЛМА-ПРЕСС Образование, 2002. — 352 с.