В работе построена семимартингальная модель динамики нормального суточного профиля артериального давления, разработанная на основе данных суточного мониторинга.
Ключевые слова: семимартингал, артериальное давление, процесс Орнштейна-Уленбека, мультивариантный процесс, точечный процесс.
На сегодняшний день математическое моделирование широко используется в биологии и медицине как актуальный и эффективный метод решения прикладных задач. Особый интерес для научных исследований представляют математические модели сердечно-сосудистой системы человека [2–4].
В статье разработана математическая модель нормального суточного профиля артериального давления (АД) в семимартингальных терминах. В семимартингальном описании заключается специфика и новизна данной модели. Разработанная вероятностная модель является новой и актуальной для решения прикладных задач биологии и медицины.
Статистический анализ данных.
Исследование суточного профиля АД проводилось в лаборатории артериальной гипертонии Ульяновского клинического госпиталя ветеранов войн. По результатам суточного мониторирования артериального давления (СМАД) и дополнительного медицинского обследования у 144 пациентов не было выявлено сердечно-сосудистых патологий. Мониторирование проводилось с использованием носимого АД-монитора «BPLab МнСДП-3» (ООО «Петр Телегин», Нижний Новгород).
Согласно анализу экспериментальных данных, в активный период кривая циркадианного ритма АД имеет два пика, первый наблюдается в интервале , второй — в интервале
. Третий пик приходится на ночное время, в интервале
, при этом средние ночные значения АД должны быть ниже средних дневных на 10–20 %. Далее в период
начинается утренний подъем АД. На каждом из четырех промежутков циркадианный ритм АД представляет собой выпуклую вверх функцию. В настоящей работе в качестве таких функций рассматриваются синусоиды. Параметр
— момент начала СМАД, выбираемый, как правило, в утреннее или послеполуденное время до 14:00. Параметр
— момент завершения эксперимента, в большинстве случаев приходится на утренние часы. Моменты времени
,
и
определяются по экспериментальным данным.
Математическая модель нормального суточного профиля артериального давления
Пусть на стохастическом базисе задан непрерывный случайный процесс
, описывающий нормальную суточную динамику АД.
Процесс Y представляет собой сумму детерминированной и стохастической составляющих:

где детерминированная функция — циркадианный ритм АД, а случайный процесс V — вариабельность АД. Время t измеряется в часах. Параметры
и T — моменты начала и окончания эксперимента.
Математическая модель циркадианного ритма АД имеет вид:
Параметры и
определяются на основе реальных данных. Значения неизвестных параметров
,
,
,
,
, найдены с помощью методов оптимизации (например, метода наименьших квадратов). При этом функция
должна удовлетворять следующим требованиям:
1) Непрерывность на отрезке
.
2) Выпуклость вверх на каждом из четырех промежутков
,
,
и
, где параметры
,
и
представляют собой моменты времени
,
и
, переведенные в количество часов.
Случайный процесс V представляет собой сумму смещенного процесса Орнштейна-Уленбека D и процесса M, совершающего скачки в случайные моменты времени:
Случайный процесс задается как

где параметр сдвига a вычисляется как среднее арифметическое суммы разностей между экспериментальными данными после выбраковки значительных колебаний АД и значениями функции в соответствующих узловых точках.
Процесс Орнштейна-Уленбека является решением уравнения Ланжевена [1]
с начальным условием где
— неотрицательная случайная величина с конечной дисперсией. Параметр
— коэффициент линейного роста, параметр
— коэффициент диффузии. Процесс
— винеровский с начальным значением
.
Траектории случайного процесса
с начальным условием . Случайный процесс
— произвольный точечный процесс с нулевым начальным значением
. Последовательность
— независимые равномерно распределенные на
случайные величины,
. Значения параметров
и
определяются экспериментально. В связи с тем, что процесс M не совершает скачков в начальный момент времени
, и до момента первого скачка значения процесса M равны нулю, в качестве
рассматривается
. Последовательность
— независимые положительные случайные величины
где параметр вычисляется на основе экспериментальных данных, а
— последовательность независимых положительных случайных величин, удовлетворяющих условию
для любого
. Начальное значение
.
Процесс M — семимартингал, совершающий скачки в моменты скачков считающего процесса N. Значения траекторий процесса M интерпретируются как значительные колебания уровня АД, вызванные стрессовыми воздействиями. Каждый скачок процесса M совершается в случайный момент времени (момент скачка процесса N) на случайную величину
,
. Случайные величины
характеризуют скорость спада АД после каждого значительного скачка.
Заключение
На основе экспериментальных данных разработана семимартингальная модель нормального суточного профиля артериального давления. Данная концепция может найти применение в медицине при изучении гомеостатических систем организма, диагностике нарушений суточной кривой артериального давления пациента, а также в учебно-исследовательской деятельности бакалавров и магистров физико-математического и медицинского факультетов.
Литература:
- Бутов А. А. Элементы стохастического исчисления / А. А. Бутов. — Ульяновск: УлГУ, 1996. — 25 с.
- Воронин И. М. Циркадный ритм артериального давления у здоровых людей и его прогностическое значение [Электронный ресурс] / И. М. Воронин, Е. А. Баженова // Естествознание и гуманизм: сб. научн. трудов; ред. Н. Н. Ильинских. — Томск, 2006. — Т. 3, вып. 4. — С. 67–68. — Режим доступа: http://www.tele-conf.ru/files/raznoe/EG-3–4-2006.rar (дата обращения: 20.04.2018).
- Разин В. А. Предикторы эффективности антигипертензивной терапии у больных гипертонической болезнью: дис.... канд. мед. наук: 14.00.06. — Самара, 2004. — 148 с.
- Цфасман А. З. Циркадная ритмика артериального давления при измененном суточном ритме жизни (работе в ночное время): монография / А. З. Цфасман, Д. В. Алпаев. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Репроцентр М, 2011. — 144 с. — ISBN 978–5-94939–059–7.