The article in propose form different, which can be applied at comparison the form geometry.
В статье идет речь о коэффициенте формы, который может применяться при сравнении геометрических фигур.
Проектирование современных зданий и сооружений связано с всесторонними исследованиями прочности и жесткости конструкций, находящихся под воздействием статистических и динамических нагрузок.
Проблема сравнения разнообразных геометрических фигур широко представлена в различных отраслях науки и может возникнуть в задачах, в которых объектом исследования является замкнутая односвязная область. К этой проблеме приводит и изопериметрическая задача, широко распространенная в математике, механике сплошных сред, математической физике, строительной механике мембран, пластинок и оболочек [1].
При сравнении геометрических фигур выбирается критерий сравнения. Иногда для этого достаточно воспользоваться площадью и периметром фигур. При сравнении правильных многоугольников в качестве критерия используется число сторон; при сравнении ромбов – угол между смежными сторонами и т.д. При сравнении же фигур различных классов, например, равносторонний треугольник и прямоугольник, выбор критерия сравнения затруднен. Как показали исследования Д. Пойа и Г. Сеге [2] во многих прикладных задачах математической физики, в качестве такого критерия может успешно использоваться интегральная характеристика формы фигур (коэффициент формы Kf).
Коэффициент формы плоской области является количественной характеристикой формы области и выражается через контурный интеграл
, (1)
где ds – линейный элемент контура области (рисунок 1); h – высота опущенная из полюса, взятого внутри области, на касательную к переменной точке контура; L – периметр области. Для фигур с криволинейным контуром выражение (1) можно преобразовать к следующему виду:
,
(2)
|
|
|
|
Рисунок 1 |
Рисунок 2 |
где r = r(&#;) - полярное уравнение контура области с полюсом в точке «а». Из выражения (2) следует теорема 1: из всех плоских фигур наименьшее значение Kf = 2π имеет круг, так как для него r′ = 0.
Для областей с полигональным контуром выражение (1) примет вид:
, (3)
где li,
hi
длина i-ой стороны многоугольника и
высота, опущенная из полюса на i-ю
сторону (рисунок 2);
и
– углы прилежащие к i-той
стороне и ограниченные отрезками прямых, проведенными из полюса в
углы полигона; n – количество
сторон многоугольника.
Если контур заданной области составлен из криволинейных и прямолинейных участков, то с учетом выражений (2) и (3) получим:
, (4)
где k – число криволинейных
участков области, описываемых одной аналитической зависимостью;
-
полярное уравнение j-го участка
криволинейной части контура, ограничивающий радиусами-векторами j-ый
участок криволинейного контура области.
Из элементарной геометрии известно, что из всех n-угольников равной площади А правильный n-угольник имеет наименьший периметр. Таким образом, из всего множества угольников, все стороны которых касаются вписанной окружности наименьшее значение Kf имеет правильный n-угольник. Как видим и в этом случае для фигур, имеющих центр симметрии, min Kfa, достигается тогда, когда точка "а" совпадает с ним.
Обобщая две предыдущие теоремы, можно сформулировать более общую теорему для n-угольников: из всего множества n-угольников наименьшее значение Kf имеет правильный n-угольник.
Таблица
Коэффициенты формы для различных геометрических фигур
|
Наименование и рисунок фигуры |
Формула |
|
Треугольники
|
Для равнобедренных треугольников:
|
|
Параллелограммы
|
где a, b – стороны параллелограмма; α – угол при основании.
где a, b – стороны прямоугольника; k = a/b.
где α – угол при основании |
|
Трапеции
|
где k = a1/a2 - отношение оснований равнобочной трапеции; &#; - угол у основания; K = h1/H – параметр минимизации.
|
|
Эллипсы
|
Для эллипсов:
где a и b – полуоси эллипса. |
Изопериметрические свойства коэффициента формы:
1. Kf – величина безразмерная и не зависит от масштаба фигур;
2. Kf дает количественную оценку формы геометрических фигур с выпуклым контуром и может служить критерием для оценки их «правильности» («симметричности»);
3. Любая фигура с выпуклым контуром имеет внутри области единственную точку "а" (центр полярной системы координат), которая обеспечивает минимальное значение коэффициенту формы для заданной фигуры (для фигур, имеющих две и более осей симметрии, точка "а" соответствует их точке пересечения; для фигур, имеющих одну ось симметрии, точка "а" лежит на этой оси);
4. Из всех плоских областей наименьшее значение Кf имеет круг (Кf = 2π);
5. Из всех n-угольников наименьшее значение Кf имеет правильный n – угольник;
|
Рисунок 3 |
6. Значения Кf для всего множества плоских областей с выпуклым контуром, представленных в координатных осях Кf –R/ρ (где R - максимальный радиус вписанной в заданную область окружности, ρ - минимальный радиус окружности, описанной вокруг нее) ограничены с двух сторон: нижнюю границу значений Кf образуют эллипсы, а верхнюю многоугольники, все |
стороны которых касаются вписанной окружности, в том числе: правильные многоугольники, ромбы и треугольники; нижнюю границу значений Кf для всего множества четырехугольников образуют прямоугольники (рисунок 3).
Последнее свойство коэффициента формы является наиболее важным, оно имеет большое прикладное значение в методе интерполяции по коэффициенту формы.
Таким образом, коэффициент формы области является геометрическим аналогом интегральных характеристик и его использование в качестве единственного независимого аргумента при построении аппроксимирующих функций позволяет свести решение сложных физических задач к решению элементарной геометрической задачи.
Литература:
Коробко, А.В. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости &#;Текст&#; / А.В. Коробко. – М.: Изд-во АСВ, 1999. – 320 с.
Фетисова, М.А. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач поперечного изгиба пластинок с комбинированными граничными условиями: диссертация ... кандидата технических наук: 05.23.17 / Фетисова Мария Александровна; [Место защиты: Орлов. гос. техн. ун-т].- Орел, 2010.- 162 с.: ил.
