Вероятностный подход к доказательству классических теорем | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 28 декабря, печатный экземпляр отправим 1 января.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №48 (286) ноябрь 2019 г.

Дата публикации: 02.12.2019

Статья просмотрена: 60 раз

Библиографическое описание:

Ламчановский, А. Г. Вероятностный подход к доказательству классических теорем / А. Г. Ламчановский, Г. С. Игнатенко. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2019. — № 48 (286). — С. 4-8. — URL: https://moluch.ru/archive/286/64541/ (дата обращения: 18.12.2024).



В статье приводятся задачи теории вероятностей, в решении которых возникают классические константы π и e. Показана вероятностная интерпретация теоремы Дирихле-Вирзинга о приближении действительных чисел алгебраическими числами.

Ключевые слова: алгебраические числа, диофантовы приближения, распределениеалгебраических чисел, вероятность, числоπ, числоe.

Известны несколько вероятностных задач, в которых возникают классические константы, например и . Приведём примеры.

Пример 1. Задача Бюффона. На плоскости нарисованы параллельные прямые на одинаковом расстоянии друг от друга. На плоскость бросается игла длины (). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

Эта задача на геометрическую вероятность. Обозначим через расстояние от середины иглы до ближайшей параллельной прямой и через — угол между иглой и прямой (рисунок 1).

до1ф

Рис. 1

Радианная мера угла меняется от 0 до π. Расстояние принимает значения от 0, если середина иголки попала на прямую, до . На плоскости с координатами эти ограничения задают прямоугольник (рисунок 2).

до2ф

Рис. 2

Из рисунка 3 видно, что иголка пересекает хотя бы одну прямую, если x будет меньше проекции половины иголки на направление, перпендикулярное прямым.

до3ф

Рис. 3

Условие пересечения имеет вид . Искомая вероятность равна отношению площади под синусоидой к площади всего прямоугольника (рисунок 4)

до4ф

Рис. 4

Вероятность может быть найдена по формуле:

(1)

По закону больших чисел , где — частота, с которой происходит искомое событие. Отсюда (1) принимает вид и . Проделав эксперимент достаточно большое количество раз, мы можем вычислить . В известных нам экспериментах было равно 5000 и было определено с точностью до третьего знака после запятой.

Пример 2. Для выпечки булочек с изюмом было использовано изюминок. При каком значении в наудачу выбранной булочке окажется хотя бы одна изюминка?

Пусть — искомое событие. Тогда

,(2)

где — случайное событие, состоящее в том, что я изюминка не попадет в данную булочку. Ясно, что .

Из (2) имеем

.

Если , то

Осталось найти такое , что .Для этого достаточно взять , т. е. изюминок должно быть в 5 раз больше чем булочек.

Для решения задачи мы использовали равенство при малых значениях λ.

Покажем, как с помощью вероятных соображений можно интерпретировать классические теоремы в теории диофантовых приближений, например, теорему Дирихле-Вирзинга о приближении действительных чисел алгебраическими числами.

Пусть x — действительное число и α алгебраическое число степени n и высоты . Высота алгебраического числа равна модулю максимального коэффициента минимального многочлена алгебраического числа. Пусть — многочлен с целыми коэффициентами степени . Обозначим через высоту многочлена, равную модулю максимального коэффициента многочлена .

При рассмотрим класс многочленов

.

Какой величины должна быть длина интервала , чтобы с вероятностью сколь угодно близкой к единице действительное алгебраическое число попало в интервал .

Обозначим длину интервала . Нетрудно доказать, что количество алгебраических чисел таких, что не менее . Занумеруем их . Пусть — искомое событие. Тогда , где — случайное событие, состоящее в том, что алгебраическое число не попало в интервал . Ясно, что .

Если и , то и . Следовательно, длина интервала .

Литература:

  1. Шмидт В. М. Диофантовы приближения. — М.: Мир, 1983. — 232 с.
  2. Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1961. — 213 с.
  3. V. Beresnevich, V. Bernik, D. Kleinbock, G. Margulis. Metric diophantine approximation: The Khintchine-Groshev theorem for nondegenerate manifolds // Mosc. Math. J.. — Moscow. — № 2. — С. 203–225.
Основные термины (генерируются автоматически): алгебраическое число, длина интервала, искомое событие, число, прямая, случайное событие.


Ключевые слова

вероятность, алгебраические числа, диофантовы приближения, распределение алгебраических чисел, число π, число e

Похожие статьи

Теорема Пикара

В статье рассматривается теорема Пикара и доказывается существование решения задачи Коши методом последовательных приближений.

О разрешимости второй начально-краевой задачи для одномерного псевдопараболического уравнения с дробными производными

В одномерной ограниченной области исследована вторая начально-краевая задача для однородного псевдопараболического уравнения с дробной по времени производной Капуто. Установлены условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи в классе непреры...

Вычисление стохастического интеграла по определению

Стохастические исчисления — это один из тех великолепных разделов математики. Теория стохастического интегрирования начиналась с интегрирования по броуновскому движению. Ито в 40-х гг. прошлого века вывел правила действий со стохастическими интеграла...

Асимптотика решения бисингулярной задачи на бесконечной прямой с квадратичной особенностью по времени

В работе построено асимптотическое разложение решения задачи Коши для бисингулярной параболического уравнения, в случае, когда решение соответствующего «вырожденного» уравнения имеет полюс второго порядка по времени в начальной точке. Асимптотика реш...

Нелинейные вполне непрерывные операторы и их аппроксимации

В статье рассматриваем теорему о непрерывных изображениях, также рассматривается лемма о непрерывных операторах и получены к ним доказательства. Дано определение нелинейному оператору.

О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса

Модельный оператор, ассоциированный с системой трех частиц на d-мерной решетке рассматривается как тензорная сумма моделей Фридрихса. Найден явный вид существенного и дискретного спектра.

Задачи Дарбу и Коши для линейных гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами

Многие явления механики, физики, биологии сводятся к исследованию гиперболических уравнений. Чтобы эти явления описать полностью для гиперболических уравнений, ставится задача Дарбу и для дальнейших изучений необходимо явное представление рассматрива...

Связь длины лакун с аналитичностью коэффициентов р(х) и q(x) оператора Дирака с периодическим потенциалом

Распределение Хотеллинга и его применение

В статье представлено статистическое расстояние и ее отличие от Евклидова расстояния (по прямой линии). Далее представляется одномерная t-статистика Стьюдента и ее обобщение — статистика T^2 Хотеллинга. В заключение показано ее применение на практиче...

Многочлены от одной переменной над булевым кольцом

В данной статье ставится и решается задача о нахождении корней многочлена над булевым кольцом. Представлен алгоритм решения уравнений и систем уравнений от одной переменной над алгеброй множеств. А также рассмотрено применение изложенного материала п...

Похожие статьи

Теорема Пикара

В статье рассматривается теорема Пикара и доказывается существование решения задачи Коши методом последовательных приближений.

О разрешимости второй начально-краевой задачи для одномерного псевдопараболического уравнения с дробными производными

В одномерной ограниченной области исследована вторая начально-краевая задача для однородного псевдопараболического уравнения с дробной по времени производной Капуто. Установлены условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи в классе непреры...

Вычисление стохастического интеграла по определению

Стохастические исчисления — это один из тех великолепных разделов математики. Теория стохастического интегрирования начиналась с интегрирования по броуновскому движению. Ито в 40-х гг. прошлого века вывел правила действий со стохастическими интеграла...

Асимптотика решения бисингулярной задачи на бесконечной прямой с квадратичной особенностью по времени

В работе построено асимптотическое разложение решения задачи Коши для бисингулярной параболического уравнения, в случае, когда решение соответствующего «вырожденного» уравнения имеет полюс второго порядка по времени в начальной точке. Асимптотика реш...

Нелинейные вполне непрерывные операторы и их аппроксимации

В статье рассматриваем теорему о непрерывных изображениях, также рассматривается лемма о непрерывных операторах и получены к ним доказательства. Дано определение нелинейному оператору.

О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса

Модельный оператор, ассоциированный с системой трех частиц на d-мерной решетке рассматривается как тензорная сумма моделей Фридрихса. Найден явный вид существенного и дискретного спектра.

Задачи Дарбу и Коши для линейных гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами

Многие явления механики, физики, биологии сводятся к исследованию гиперболических уравнений. Чтобы эти явления описать полностью для гиперболических уравнений, ставится задача Дарбу и для дальнейших изучений необходимо явное представление рассматрива...

Связь длины лакун с аналитичностью коэффициентов р(х) и q(x) оператора Дирака с периодическим потенциалом

Распределение Хотеллинга и его применение

В статье представлено статистическое расстояние и ее отличие от Евклидова расстояния (по прямой линии). Далее представляется одномерная t-статистика Стьюдента и ее обобщение — статистика T^2 Хотеллинга. В заключение показано ее применение на практиче...

Многочлены от одной переменной над булевым кольцом

В данной статье ставится и решается задача о нахождении корней многочлена над булевым кольцом. Представлен алгоритм решения уравнений и систем уравнений от одной переменной над алгеброй множеств. А также рассмотрено применение изложенного материала п...

Задать вопрос