В статье обсуждается необходимость и возможность изучения комплексных чисел в старшей школе, анализируются актуальные учебники математики, рассматриваются методические аспекты введения данного раздела в школьный курс математики.
Ключевые слова: комплексное число, числовая система, базовый уровень, профильный уровень.
Комплексные числа — раздел, не всегда встречающийся в современных школьных учебниках алгебры и начал математического анализа [1]. Из книг, рассмотренных нами, эта тема рассматривается лишь в одном учебнике базового уровня, в остальных случаях — только в учебниках профильного уровня. Естественно, возникает вопрос — должен ли учитель рассказать о существовании множества комплексных чисел, показать, как выполняются арифметические операции на этом множестве, как подойти к этой теме оптимально с точки зрения как времени, так и содержания.
Комплексные числа не входят в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике, поэтому чаще всего тему «Комплексные числа» или оставляют на самостоятельное изучение, или не рассматривают совсем. Если комплексные числа не изучаются, то у учеников может возникнуть проблема при решении квадратных уравнений — как корректно записать ответ в случае отрицательного дискриминанта? Учащиеся заучивают шаблонную фразу «нет действительных корней», не задумываясь, какое значение она имеет. Этого можно избежать, если в рамках темы «Квадратные уравнения» показать, что из отрицательного числа можно извлечь корень и получить мнимое число, изучение которого будет происходить в 11 классе. В таком случае будет понятно, что у каждого уравнения есть корни, но в число рассматриваемых они могут и не входить.
Изучение комплексных чисел и работа с ними способствует развитию у учащихся абстрактного мышления, позволяет полностью увидеть структуру всех изученных ранее числовых множеств и операций с ними. Множество комплексных чисел принципиально отличается от всех числовых систем, являющихся подсистемами действительных чисел: комплексные числа нельзя отобразить на одной координатной прямой с другими числами, их нельзя упорядочить. Кроме того, комплексные числа — это тот редкий раздел математики, который объединяет в себе алгебру, геометрию и тригонометрию; показывает возможность привлечения смежных областей науки для решения конкретной задачи, реализуя тем самым интеграционные связи математики — как ближние, так и дальние [2]. Сама идея того, что из отрицательного числа можно извлечь корень, побуждает обучающихся посмотреть на ранее известные вещи с другой точки зрения.
Нами был рассмотрен ряд учебников по алгебре и началам математического анализа для 11 класса, входящих в федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации образовательных программ среднего общего образования на 2019–2020 учебный год [4]. Среди них учебники базового уровня (Г. К. Муравин и О. В. Муравина), углубленного уровня (Г. К. Муравин и О. В. Муравина; М.Я Пратусевич и др.) и базового и углубленного уровней (С. М. Никольский, М. К. Потапов и др.; Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева и др.). Анализ перечисленных выше учебников показал, что авторы стремятся изложить определенные сведения о множестве комплексных чисел в средней школе: во всех учебниках приводится исторический материал, рассматриваются алгебраическая, геометрическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел, формула корней кубического уравнения. В учебниках углубленного уровня приводится показательная форма записи комплексного числа, рассматриваются операции возведения в степень и извлечение корня из комплексного числа. Материал учебников поможет сформировать представление о комплексных числах даже при самостоятельном изучении.
Знакомство с темой можно начать с повторения сведений об известных числовых множествах и выяснения причин, по которым было необходимо их расширение. Так операция вычитания привела к появлению отрицательных чисел, операция деления — рациональных чисел, извлечение корня — иррациональных чисел. Все эти множества входят в множество комплексных чисел, в которых выполнима операция излечения корня из любого числа. При изучении формулы корней кубического уравнения уместно будет рассказать об истории ее появления, а также об отношении к «неправильным» числам во все времена, начиная с неприязни к отрицательным числам. Интерес у учащихся также может вызвать объяснение записи мнимых чисел.
Важно показать различные формы записи комплексного числа и переходы от одних форм к другим; в каких случаях используется та или иная форма записи комплексного числа. Так, например, в учебнике С. М. Никольского приведена показательная форма комплексного числа и подчеркиваются ее преимущества: короткая запись числа и удобство при умножении, делении или возведении в степень. Также говорится о применении такого типа записи в физике. Г.К. и О. В. Муравины в учебниках и для базового, и для профильного уровней ограничиваются лишь тождеством Эйлера, а М. Я. Пратусевич и Ю. М. Колягин приводят только алгебраическую и тригонометрическую формы записи.
При изучении операций сложения, умножения и сопряжения комплексных чисел можно предложить учащимся самим вывести формулы, основываясь на алгоритме приведения подобных слагаемых и сложения и умножения многочленов. Совместный вывод теоретического материала может облегчить восприятие темы.
Анализируя методические рекомендации к учебникам, можно сделать следующий вывод: все рассмотренные авторы сделали тему «Комплексные числа» последней темой курса алгебры и начал анализа 11 класса. В частности, Г. К. Муравин и О. В. Муравина отмечают: «рассмотрение материала главы во многих классах можно проводить на ознакомительном уровне, что высвободит запланированное на изучение комплексных чисел время для повторения востребованного на экзамене материала» [4]. В рассматриваемых нами методических рекомендациях авторы выделяют от 10 до 19 часов на изучение комплексных чисел при углубленном изучении математики и 6 часов при изучении математики на базовом уровне. Такой размах обусловлен различным объемом материала и количеством часов в неделю для конкретного учебника.
Комплексные числа являются самостоятельной темой, объединяющей в себе ранее изученные разделы. Поэтому можно осуществить изучение этой темы в рамках курса внеурочной деятельности даже в 10 классе, при условии пропедевтики в основной школе, оставив уроки в 11 классе для повторения.
Если учитель ставит перед собой цель ознакомить учащихся с комплексными числами, можно рассматривать эту тему в несколько этапов: в 8 классе при изучении темы «Квадратные уравнения» объяснить, что такое комплексное число, показать алгебраическую форму комплексных чисел их сумму и разность, умножение и деление на действительное число; в 9 классе после изучения темы «Степенная функция» показать умножение и деление комплексных чисел, модуль комплексного числа; в 10 классе после изучения темы «Тригонометрия» познакомить учащихся с тригонометрической формой записи комплексного числа, извлечением корня и возведением в степень комплексного числа; в 11 классе вспомнить ранее изученное о комплексных числах и рассмотреть показательную форму записи комплексного числа. Таким образом действия с комплексными числами будут изучаться непосредственно после связанной с этим темы.
Изучение комплексных чисел в школе в первую очередь способствует развитию абстрактного мышления: раздвигаются привычные рамки, выполняются операции, ранее считавшиеся невыполнимыми. Содержательно-методическая линия числа приобретает законченный характер. Кроме того, при изучении комплексных чисел необходимо знакомиться и с историей развития числа и теми проблемами, которые привели к появлению комплексных чисел. Тем самым расширяется исторический кругозор и повышается культурный уровень обучающихся, что имеет огромное значение для общего развития старшеклассника. Все это актуализирует изучение комплексных чисел в урочной или внеурочной деятельности по математике в средней школе.
Литература:
- Алгебра и начала математического анализа. Сборник рабочих программ. 10–11 классы: учеб. пособие для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [сост. Т. А. Бурмистрова]. — 2-е изд. -–М.: Просвещение, 2018. — 143 с.
- Жмурова И. Ю., Полякова Т. С., Лялина Е. В. 2Иинтеграционные связи и их оценка учителями математики и бакалаврами педагогико-математического образования // Методический поиск: проблемы и решения. — 2015. — № 1 (18). — С. 66–72.
- Муравин Г. К., Муравина О. В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс, Углубленный уровень: методическое пособие к учебнику. — М.: Дрофа, 2015. — 272 с.
- Приказ Минпросвещения России «О внесении изменений в федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования, сформированный приказом Министерства просвещения Российской Федерации от 28 декабря 2018 г. N 345" от 22.11.2019 № 623 // Российская газета. 25.11.2019 г. № 8023.
