Решение одной системы линейных рекуррентных соотношений первого порядка



Рассматривается система однородных линейных рекуррентных соотношений первого порядка, записанная в векторном виде. Оператор в правой части системы действует в пространстве . Исследуются следующие случаи его собственных значений: 1) вещественные, единичной алгебраической кратности; 2) кратные вещественные; 3) комплексно сопряженные. Получено общее решение в аналитическом виде. Результаты иллюстрируются примерами с конкретными операторами.

Ключевые слова: система линейных рекуррентных соотношений, первый порядок, общее решение.

Рассматривается система линейных рекуррентных соотношений (далее, ЛРС) первого порядка, записанная в векторном виде:

(1)

где — искомая вектор-последовательность, — оператор, задаваемый числовой квадратной матрицей, .

Системами рекуррентных соотношений задаются модели, описывающие развитие (идеализированной) популяции кроликов [1], распределение государством денежной массы по агрегатам [2], взаимодействие с окружающей средой (например, вырубка лесов) [3] и т. д.

Приведем необходимые для решения задачи сведения [4].

Определение 1. Собственное значение оператора — это корень характеристического уравнения

(2)

где — единичный оператор той же размерности.

Определение 2. Собственный вектор , отвечающий собственному значению , определяется при решении уравнения

(3)

Определение 3. Алгебраической кратностью собственного значения назовем степень соответствующего множителя , с которым он входит в разложение характеристического уравнения.

В настоящей работе будет построено решение ЛРС (1) в следующих случаях: I) вещественных, единичной алгебраической кратности, II) кратных вещественных, III) комплексных собственных значений оператора .

1. Случай I

Исследуется случай: оператор имеет собственные значения единичной алгебраической кратности. Пусть , , , ‒ собственные значения оператора , а , , , ‒ собственные векторы, отвечающие этим собственным значениям.

Имеет место следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть ‒ собственное значение оператора , а — собственный вектор, отвечающий этому собственному значению. Тогда последовательность

(4)

является частным решением соотношения (1).

Доказательство. Действительно, подставив последовательность (4) в соотношение (1) вместо , получим:

Последнее равенство верно в силу определения 2. Лемма доказана.

Из леммы 1 вытекает следующий результат.

Теорема 1. Последовательность

где ‒ произвольные скаляры, является общим решением соотношения (1).

2. Случай II

Исследуется случай: оператор имеет кратные собственные значения. Пусть собственное значение имеет алгебраическую кратность .

Рассмотрим вспомогательное дифференциальное уравнение:

(5)

Частное решение этого уравнения, отвечающее собственному значению , равно

где здесь и далее — произвольные вектор-постоянные [5].

Определим функционал для непрерывно дифференцируемой раз в точке функции формулой:

Имеет место следующее утверждение.

Лемма 2. Для всех имеет место равенство:

где — количество размещений из элементов по .

Доказательство. По формуле Лейбница имеем

(6)

где — биномиальный коэффициент. Нетрудно видеть, что

Подставив два последних равенства в (6), учитывая, что при слагаемые суммы равны нулю, получим:

Выделим в сумме слагаемое с , имея

Взяв в последнем выражении , получим утверждение леммы. Лемма доказана.

Методом, введенным в работе [6], с применением леммы 2 получено следующее утверждение.

Лемма 3. Частное решение ЛРС (1), отвечающее собственному значению равно

(7)

Тем самым, справедлив следующий результат.

Теорема 2. Общее решение соотношения (1) является суммой частных решений (7):

3. Случай III

Пусть оператор имеет комплексно-сопряженные собственные значения вида

(8)

Частное решение уравнения (5), отвечающее собственному значению (8), раскладывается по собственным функциям , [5]:

Имеет место следующий результат.

Лемма 4. Частное решение для ЛРС (1), отвечающее собственным значениям (8), определяется формулой:

(9)

где — целая часть числа x.

Доказательство. Применим тот же метод доказательства, что и в предыдущем пункте. Частное решение для ЛРС (1), отвечающее собственному значению (8), равно

(10)

По формуле Лейбница

(11)

Далее, нетрудно видеть, что

Взяв в последних соотношениях и подставив в (11), (10), в силу соотношений:

где символом mod обозначен остаток от деления, приходим к формуле из утверждения леммы. Лемма доказана.

Из леммы 4 вытекает следующий результат.

Теорема 3. Общее решение — это сумма частных решений, каждое из которых отвечает своей паре комплексно сопряженных собственных значений оператора . Эти частные решения определяются по формуле (9).

4. Примеры

Проиллюстрируем полученные результаты следующими примерами.

Пример 1. Решить следующую систему ЛРС

(12)

Система (12) — это система вида (1) с искомой вектор-последовательностью

и оператором

1) Вычислим собственные числа оператора . Для этого решим характеристическое уравнение (2):

2) Вычислим собственные векторы , , отвечающие собственным числам , . Решив уравнение (3), получим:

3) Оператор имеет вещественные собственные значения единичной алгебраической кратности, следовательно, имеет место случай I. Общее решение системы (12) в силу теоремы 1 равно

Непосредственной подстановкой последнего выражения в исходную систему убеждаемся в истинности решения.

Пример 2. Решить следующую систему ЛРС

(13)

Система (13) — это система вида (1) с искомой вектор-последовательностью

и оператором

1) Вычислим собственные числа оператора . Для этого решим характеристическое уравнение:

2) Оператор имеет вещественное собственное значение алгебраической кратности 3, следовательно, имеет место случай II. Общее решение системы (13) в силу теоремы 2 равно

Чтобы выразить одни коэффициенты через другие, применим следующее утверждение [6].

Утверждение. Система последовательностей образует базис.

Из него вытекает следствие.

Следствие. Пусть — постоянные. Тогда равенство нулю линейной комбинации влечет равенство нулю ее коэффициентов.

Подставив полученное выражение во второе соотношение системы, в силу следствия, получим:

Подстановка полученного выражения в третье соотношение системы влечет равенства:

Наконец, из первого соотношения системы получаем:

Взяв в качестве параметров , , , , получим искомое решение системы:

Пример 3. Решить следующую систему ЛРС

(14)

Система (14) — это система вида (1) с искомой вектор-последовательностью

и оператором

1) Решив характеристическое уравнение

вычислим собственные числа оператора :

2) Оператор обладает комплексными собственными значениями, следовательно, имеет место случай III. Общее решение системы (14) в силу теоремы 3 равно

(15)

3) Для определения коэффициентов подставим (15) в (14), взяв , . Решив полученную систему, имеем:

Таким образом,

Некоторые результаты настоящей работы апробированы на конференции [7].

Литература:

1. Неверова Г. П. Режимы динамики лимитированной структурированной популяции при избирательном промысле / Г. П. Неверова, А. И. Абакумов, Е. Я. Фрисман // Математическая биология и биоинформатика. 2017. Т. 12. № 2. С. 327–342.

2. Денежная масса и денежная база. Структура денежной массы [электронный ресурс]. Режим доступа: https://studopedia.ru/6_106532_denezhnaya-massa-i-denezhnaya-baza-struktura-denezhnoy-massi.html (дата обращения: 21.12.2019).

3. Игнатенко В. В., Турлай И. В., Федоренчик А. С. Моделирование и оптимизация процессов лесозаготовок: учебное пособие для студентов специальности «Лесоинженерное дело». Мн.: БГТУ, 2004.
4. Бирман М. Ш., Виленкин Н. Я., Горин Е. А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1972. 544 с.
5. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 331 с.
6. Усков В. И., Анжаурова Т. М. Решение линейных рекуррентных соотношений второго порядка // Молодой ученый. 2019. № 42 (280). C. 1–6.
7. Бурчакова Т. Л., Довгаль В. А. Решение одной системы линейных рекуррентных соотношений первого порядка // Материалы VI Международной научно-практической конференции (школы-семинара) молодых ученых «Прикладная математика и информатика: современные исследования в области естественных и технических наук». Тольятти, 2020.