The work is devoted to the issue surrounding the symptotic behaviour of sum of values of multiplicative functions. A connection is identified between such sums for prime numbers and natural numbers.
The results obtained during the work process are based on research of analytical properties of specified sums and can be applied to the theory of free normative semi-groups.
Работа посвящена задачам, где изучается асимптотическое поведение суммы значений мультипликативных функций. Устанавливается связь между такими суммами по простым числам и натуральным числам.
Результаты, полученные в работе, основаны на исследовании аналитических свойств указанных сумм и имеют приложения в теории свободных нормированных полугрупп.
Пусть
и
− неотрицательные мультипликативные функции. Определим функции
и
следующим образом:
,
(
− простые числа,
−
натуральные числа).
Введем обозначения
;
.
Учитывая определения функции
и
имеем
;
.
Откуда
;
.
Предположим, что ряд
сходится в полуплоскости
.
Начиная с этого момента, мы предполагаем также, что
для всех натуральных
.
Так как все члены ряда
неотрицательные числа, то отсюда следует, что ряд для
(а
следовательно и ряд для
)
при
сходится абсолютно.
Так как для любого фиксированного
функция
мультипликативна по
,
то в силу тождества Эйлера для мультипликативных функций имеем:
откуда
-
где
Чтобы получить намеченный результат мы должны обеспечить
равномерную продолжимость производной
на прямую
.
Для этого во всяком случае необходимо чтобы каждый из рядов
сходился и чтобы при
было справедливо неравенство
.
Это условие будет выполнено, если мы потребуем, чтобы
для всех простых
выполнялось неравенство
.
(1)
Действительно, в этом случае
.
Далее
,
откуда
(2)
Отсюда видно, что если наряду с условием (2) потребовать сходимость рядов
и
,
то это обеспечит равномерную продолжимость функции
(а значит функции
)
на прямую
.
Теорема 1. Пусть
и
−
неотрицательные мультипликативные функции, причем
для всех
.
,
,
,
Тогда если ряды
и
сходятся и
для всех
,
то
.
(доказательство теоремы из-за громоздких вычислений не приводится).
Рассмотрим несколько следствий теоремы 1.
Следствие 1. Пусть
&#;
неотрицательная мультипликативная функция
,
,
.
Если ряды
и
сходятся и
для всех простых
,
то
.
В частности, этим условиям удовлетворяет функция
.
Поэтому отсюда следует закон простых чисел.
Следствие 2. Пусть
&#;
мультипликативная функция,
для всех неотрицательных
.
,
,
.
Тогда если ряды
и
сходятся и
для всех простых
,
то
.
Замечания.
В формулировке теоремы 1 и ее следствий условие
,
,
(3)
можно заменить более слабым ограничением
,
,
.
Так, например, в условии (3) достаточно иметь остаточный член
,
.
2. Вместо неравенства
достаточно потребовать, чтобы при
при любых простых
выполнялось условие
.
(4)
Последнее замечание играет роль в некоторых важных
частных случаях. Пусть, например, в условиях теоремы 1 функции
и
вполне мультипликативны. Тогда условие (4) означает, что
,
что выполняется автоматически, поскольку
,
если только
для всех простых
.
Кроме того, в этом случае
Таким образом справедлива следующая
Теорема 2. Пусть
и
−
неотрицательные, вполне мультипликативные функции,
при всех простых
.
,
,
,
(5)
Тогда если ряд
сходится, то
.
Пусть
&#;
любое фиксированное натуральное число, тогда из условия (5) следует
,
откуда
для любого натурального
.
Поэтому
Отсюда следует, что ряд
сходится и тем более сходится ряд по простым числам.
Поэтому из теоремы 2 вытекает
Теорема 3.
Пусть
и
−
неотрицательные мультипликативные функции,
для всех простых
и выполнено условие (5).
Тогда
.
- Литература:
Файнлейб А.С. Некоторые асимптотические формулы для сумм мультипликативных функций и их приложения.&#; Литовский матем. сборник, 7, №13, 1967, 535-545.
Ингам А.Е. Распределение простых чисел.&#; ОНТИ, 1936.
Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана.&#; ИЛ, 1953.
