Моделирование самокасающихся макромолекул с помощью потенциала, сосредоточенного на кривых

В статье рассматривается возможность моделирования ДНК и белков с помощью потенциала, сосредоточенного на кривых, для предсказания возможного переключения макромолекулы.

Ключевые слова: мат. моделирование, теория операторов

Белки и ДНК — это макромолекулы, которые являются очень длинными цепочками из аминокислот (в случае белков) или нуклеотидов (в случае ДНК), но чаще они встречаются в клетках, диаметр которых в сотни, а то и тысячи раз меньше длины цепочки, поэтому они свернуты в клубки и упакованы в относительно небольшом пространстве, как факт. Это значит, что зачастую большое количество частей молекул — этих самых цепочек — находятся очень близко друг к другу. Из-за этого есть ненулевая вероятность изменения цепочки макромолекулы, которое может привести к генетическим изменениям, или заболеванием живого существа, или другим нарушениям. Можно использовать потенциал, сосредоточенный на кривой в трехмерном пространстве в качестве модели такой макромолекулы. С такой точки зрения, соединение между различными частями кривой может привести к возникновению собственных состояний, появление которых, может стать причиной изменения молекулы. Это стимулирует наш интерес к собственным значениям в такой модели.

Положим кривую Γ в R³. Она определена функцией γ(s): R → R³. Пусть γ ∈ C¹ везде и γ ∈ C² кусочно-задана. Более того, сделаем кривизну не такой сильной, скажем, что существует константа C такая, что для всех s₁,s₂, имеет место неравенство |γ(s₁) − γ(s₂)| ≥ c|s₁ − s₂|. Давайте зададим смещенную кривую Γ_r. Для этих целей введем трехгранник Френе для Γ, т. е. тройку (t(s), b(s), n(s)) касательный, нормальный и бинормальный вектора, которые являются непрерывными функциями от s. Для заданных ξ,η ∈ R мы определим Γ_r следующим образом:

Γ_r = {γ_r(s) = γ(s) + ξb(s) + ηn(s), r = (ξ² + η²)^1/2.}

Существует некоторая r₀, такая что Γ выполняется для каждого r ≤ r₀.

Каждый функция f ∈ H_loc² (R³ \ Γ) непрерывна на R³ \ Γ. Следовательно, ограничение на f на Γ_r, r < r₀, однозначно определено. Обозначим его как f_Γr(s). Это ограничение может быть рассмотрено как распределение из D⁰(R) с параметром

r. Определим самосопряженный оператор −∆_Γ,β следующим образом

Функция f, f ∈ H_loc² (R³\Γ)∩L²(R³) принадлежит D(−∆_Γ,β), если

1)Следующие пределы [1]

существует почти везде в R, не зависят от направления , и определяют функцию из L²(R³);

2)Следующее равенство имеет место:

βΞ(f)(s) = Υ(f)(s).

Оператор действует как Лапласиан для x ∈ R³ \ Γ:

−∆_Γ,β = −∆f.

Предлагается использовать частный случая кривых линий. А именно, пусть кривые Γ₁,Γ₂ в R³ имеют следующие выражения в картезианских координатах:

Γ₁: γ₁(s) = (s, 0, 0),Γ₂:γ₂(s) = (s cosθ, s sinθ, L),

s ∈ R, −π/2 < θ ≤ π/2.

Существенным спектром оператора −∆_β = −∆_Γ,β является следующее

Число−4e^{2(−β+ψ(1))} определяет собственное значение двухмерной системы одноточечного взаимодействия.

Нас интересует Гамильтониан, соответствующий потенциалу между двумя кривыми линиями.

Давайте получим спектральные уравнения. Собственная функция имеет вид

Чтобы выполнялись ограничения, описанные выше, нужно задать Ξ,Υ. Для этого удобно переписать u(x) в другой форме:

(4)

Где — какое-то значение спектрального параметра, возьмем

Теперь можем выразить Ξ₁,Ξ₂ остальное выразим через Υ₁,Υ₂:

Преобразуя, получим интегральные уравнения для α₁, α₂:

√

Где |γ₂(t) − γ₁(s)| = s² + t^2–2 st cosθ + L².

Таким образом, мы получили модель, которую хотели.

Литература:

1. J.Brasche, P.Exner, Yu.A.Kuperin, P.Seba. Schr¨odinger operator with sigular interactions, J. Math. Anal. Appl., 184 (1994), 112–139.
2. P. Exner, K. Nemcova: Bound states in point-interaction star graphs J. Phys. A34 (2001), 7783–7794