В статье рассматриваются два варианта формирования цифровых гармонических сигналов большой длительности — по аналитической формуле и по формуле обратного Z- преобразования, в ходе моделирования с использованием системы Matlab.
Ключевые слова: цифровой гармонический сигнал, аналитическая формула, формула обратного Z- преобразования.
При исследовании телекоммуникационных систем часто требуется формирование гармонических сигналов на большом интервале времени. При моделировании стандартным приемом является расчет по аналитической формуле
Было замечено, что значения отсчетов, полученные по аналитической формуле, отличаются на разных периодах сигнала.
Проанализируем результаты моделирования цифровой синусоиды для числа точек на периоде синуса, равном 15. На рис. 1 представлено изменение отсчетов синуса на одном периоде при расчете отсчетов по аналитической формуле.
На рисунке 1 приведена разность отсчетов первого периода и периодов с номерами 16*1024, 64*1024, …, 512*1024. В табл. 1 приведены максимальные отклонения значений отсчетов на разных периодах.
Рис. 1. Изменение значений отсчетов сигнала на различных периодах синуса (15 точек на периоде)
С увеличением номера периода синусоидального сигнала ошибка формирования отсчетов увеличивается. Общая закономерность изменения ошибки показана на рис. 2, ошибка определяется систематической ошибкой представления значения числа 
.
Таблица 1
Максимальное отклонение значений синуса
|
Периоды синуса |
1 и 2 |
1 и 1024 |
1 и 2*1024 |
1 и 4*1024 |
1 и 8*1024 |
1 и 16*1024 |
|
Максимальное отклонение |
1*10–16 |
1*10–13 |
2*10–12 |
2,5*10–12 |
8*10–12 |
1,5*10–11 |
|
Периоды синуса |
1 и 32*1024 |
1 и 64*1024 |
1 и 128*1024 |
1 и 256*1024 |
1 и 512*1024 |
|
|
Максимальное отклонение |
2,5*10–11 |
6*10–11 |
8*10–11 |
2*10–10 |
5*10–10 |
|
Рис. 2. Ошибка отсчетов синусоиды
Цифровой гармонический сигнал может быть получен с использованием обратного Z- преобразования [1] для Z- образа, задаваемого формулой
При моделировании таким способом отсчеты на всех периодах синуса совпадают.
На рис. 3 приведены результаты дискретного преобразования Фурье для двух вариантов формирования синусоидального сигнала. На графиках видно, что уровень побочных составляющих для аналитической синусоиды на 250 дБ выше, чем для синуса, сформированного по формуле обратного Z- преобразования.
Рис. 3. Спектр синусоидального сигнала
Проведенные исследования показали, что при моделировании длинных последовательностей цифрового синусоидального сигнала целесообразно использовать его формирование по формуле обратного Z- преобразования.
Литература:
- Гольденберг Л. М. Цифровая обработка сигналов: Справочник /Гольденберг Л. М. и др. — М.: Радио и связь, 1985. — 312 с.
