В данной статье представлен новый метод решения задачи Коши для линейного уравнения в частных производных первого порядка с постоянными коэффициентами, зависящего от двух переменных, и решение задачи Коши для уравнения продольных колебаний однородного стержня постоянного сечения методом понижения порядка.
Здесь и далее: 
, 
— функции двух переменных, 
, 
,, 
, 
, 
, 
, 
— частные производные, и вообще, для любой функции 
будем полагать 
, 
. Символ 
будет означать, что из предыдущего уравнения получаем следующее.
1.Метод решения задачи Коши для линейного уравнения в частных производных первого порядка с постоянными коэффициентами, зависящего от двух переменных.
Данная задача Коши имеет вид [1]:
, 
, 
, (1)
, , (2)
где 
— функция, имеющая первую производную, 
, 
— вещественные числа, не равные нулю, 
— вещественное число.
Ход метода.
С одной стороны, из (1) следует
. (3)
Умножим (3) на 
. Получим
. (4)
Так как 
, и 
, то (4) можно представить в виде
. (5)
Положим в (5): 
.Тогда (5) будет иметь вид 
, или
. (6)
Пусть 
— произвольное решение (6). Тогда, очевидно, 
будет удовлетворять уравнению (1), то есть
. (7)
С другой стороны, из (1) следует
. (8)
Умножим (8) на
. Получим
. (9)
Так как 
, и 
, то (9) можно представить в виде
. (10)
Положим в (10): 
.Тогда (10) будет иметь вид 
, или
. (11)
Пусть 
— произвольное решение (11). Тогда, очевидно, 
будет удовлетворять уравнению (1), то есть
. (12)
Далее, поскольку уравнения (6) и (11) идентичны, то и их решение относительно 
, или 
, будет одинаковым. Тогда, в данном случае, можно положить
. (13)
Сопоставляя (7) и (12), с учетом (13), находим систему из двух уравнений:
, (14)
. (15)
Приравнивая (14) и (15), находим, что в нашем случае будет выполнятся 
, откуда получаем равенство 
, из которого следует
. (16)
Очевидно, 
, где 
– произвольная постоянная, будет решением уравнения (6), равно как и решением уравнения (11). В силу произвольности , можно положить 
, где 
— произвольная дифференцируемая функция. Таким образом, имеем
. (17)
В силу полученного равенства (16), в решении (17) можно заменить 
на 
, и решение (17) будет иметь вид
. (18)
Поскольку функция — произвольная и дифференцируемая, то далее она может быть определена из условия (2). Подставим (18) в (7). Тогда получим
. (19)
Применяя к (19) начальное условие (2), найдем окончательное решение задачи Коши (1), (2) в виде
. (20)
2. Решение задачи Коши для уравнения продольных колебаний однородного стержня постоянного сечения методом понижения порядка.
Задача Коши для данного уравнения имеет вид [1], [2]:
, , , (21)
, , (22)
, , (23)
где для функций 
, 
существует первая и вторая производная, 
— вещественное число, не равное нулю.
Ход метода.
Уравнение (21) можно представить в виде 
, и далее, полагая функцию 
непрерывной по обеим переменным во всей области определения, в виде 
, откуда далее, представим его в виде
. (24)
Положим в (24):
. (25)
Тогда (24) будет иметь вид
. (26)
Уравнение (26) есть уравнение вида (1) при 
, 
, 
. Согласно формуле (19), его решением будет
, (27)
где 
— произвольная функция, имеющая первую и вторую производную, далее подлежащая определению из начальных условий (22), (23). Подставляя найденное решение для 
из (27) в уравнение (25), находим, что решение уравнения (21) свелось к решению уравнения вида
. (28)
Таким образом, решение уравнения второго порядка (21) свелось к решению уравнения, подобного уравнению первого порядка вида (1), но с ненулевой правой частью. Далее выполним ряд следующих преобразований
, (29)
, (30)
. (31)
Так как
, (32)
то подставляя (32) в (31) находим
. (33)
Подставляя (30) и (33) в (29) находим
. (34)
Далее, подставляя (34) в (28) находим
. (35)
С уравнением (35) проведем следующие очевидные преобразования
,
,
,
. (36)
Уравнение (36) есть частный случай уравнения (1) при , , 
, если его рассматривать относительно функции 
. Выполняя в уравнении (36) замену
, (37)
представим его в виде
. (38)
Исходя из решения (20) задачи Коши (1), (2), решение уравнения (38) имеет вид
, (39)
где 
— произвольная функция, имеющая первую и вторую производную, в дальнейшем подлежащая определению из начальных условий (22), (23). Таким образом, приравнивая (37) и (39) находим, что
. (40)
Очевидно, что уравнение (21) будет равносильно уравнению 
, и проведя аналогичные рассуждения, заменив 
на 
, получим еще одно решение, подобное (40):
, (41)
так как интеграл слева в (40), при замене на , остается прежним. Складывая (40) и (41), получим
. (42)
Из (42) элементарными преобразованиями получаем
. (43)
Применяя начальные условия (22), (23) к решению (43), найдем окончательное решение задачи Коши (21)-(23) в виде
.
Литература:
- С. Фарлоу. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров,издательство «Высшая школа», Москва, (1985) — 384 с.
2. Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. Уравнения в частных производных математической физики, издательство «Высшая школа», Москва, (1970) — 712 с.
