Преобразование фазных переменных напряжений и токов асинхронного двигателя в пространственные векторы



При подготовке слайдов для проведения вебинаров возникла необходимость введения дополнительных обозначений при выводе уравнений асинхронного двигателя и сделаны существенные изменения в работе [1].

1. Преобразование мгновенных значений напряжений и токов в степенные функции.

Фазные напряжения в статоре:

(1)

Выразим u_a, u_b и u_c через степенные функции по формуле Эйлера:

.

Примечание: .

(2)

Мгновенные значения токов статора и ротора:

гдеφ_is и φ_ir – углы отставания от напряжения во времени для фазы «а».

Преобразование углов через степенные функции:

Численные значения e^j0, e^j120 и e^j240:

2. Пространственные векторы напряжения и токов.

Единичные пространственные векторы:

.

(3)

.

Пространственный вектор напряжения статора :

(4)

Вывод: пространственный вектор напряжения статора имеет такой же угол и модуль комплекса (фазы «а») на временной комплексной плоскости.

Геометрический смысл преобразования мгновенных значений напряжений в пространственный вектор показан на рис. 1.

Последовательность построений: во временной системе координат определяются мгновенные значения векторов на действительную ось u_sa, u_sb, u_sc, далее они переносятся на действительную ось в пространственную систему координат в виде отрезков. Затем осуществляется разворот этих отрезков с помощью единичных пространственных векторов. Далее производится геометрическая сумма , и наконец, умножив полученный вектор на множитель , получим искомый вектор .

Рис. 1. Геометрический смысл построения пространственного вектора по составляющим , и

Вектор тока статора :

Вектор тока ротора :

Вывод: пространственные векторы и сдвинуты на те же углы и в пространственной плоскости, что и соответствующие фазовые отставания φ_is и φ_ir во времени по отношению к напряжению для фазы «а».

3. Основные уравнения асинхронного двигателя в фазных переменных статора и ротора.

Обобщенная асинхронная машина показана на рис. 2.

Рис. 2. Обобщённая асинхронная машина

Баланс фазных напряжений статорных и роторных цепей:

	(5)
	(6)
	(7)
	(8)
	(9)
	(10)

Потокосцепление фаз статорных и роторных цепей с учетом взаимоиндуктивностей с переменными коэффициентами, зависящими от расположения магнитных осей ротора и статора:

	(11)
	(12)
	(13)
	(14)
	(15)
	(16)

4. Преобразование балансов напряжений в фазных переменных в соответствующий баланс пространственных векторов.

Умножим обе части уравнения (5) на единичный пространственный вектор , уравнения (6) и (7) – соответственно на и . Далее, просуммируем уравнения:

В векторной форме баланс напряжений для статора:

(17)

Аналогично произведем преобразование баланса напряжений для роторных фазных переменных:

В векторной форме баланс напряжений для ротора:

(18)

Литература:

1. Пространственные векторы в асинхронном двигателе в относительной системе единиц / А. А. Емельянов, А. М. Козлов, В. В. Бесклеткин [и др.]. - Текст: непосредственный // Молодой ученый. - 2015. - № 11 (91). - С. 133-156.
2. Ковач, К. П. Переходные процессы в машинах переменного тока / К. П. Ковач, И. Рац; пер. с нем. - Москва: Госэнергоиздат, 1963. - 735 c. - Текст: непосредственный.
3. Шрейнер, Р. Т. Электромеханические и тепловые режимы асинхронных двигателей в системах частотного управления: учеб. пособие / Р. Т. Шрейнер, А. В. Костылев, В. К. Кривовяз, С. И. Шилин; под ред. проф. д.т.н. Р. Т. Шрейнера. - Екатеринбург: ГОУ ВПО «Рос. гос. проф.-пед. ун-т», 2008. - 361 c. - Текст: непосредственный.
4. Шрейнер, Р. Т. Математическое моделирование электроприводов переменного тока с полупроводниковыми преобразователями частоты / Р. Т. Шрейнер. - Екатеринбург: УРО РАН, 2000. - 654 c. - Текст: непосредственный.