Исследование задачи Коши для некоторого возмущенного алгебро-дифференциального уравнения первого порядка на явление погранслоя

Рассматривается задача Коши для алгебро-дифференциального уравнения первого порядка, возмущенного операторной добавкой в правой части, содержащей малый параметр. Перед производной находится вырожденный операторный коэффициент. Этот коэффициент является фредгольмовским оператором с нулевым индексом, имеющим одномерное ядро. В работе приводится алгоритм исследования задачи на наличие явления погранслоя, вызываемым наличием малого параметра. Алгоритм иллюстрируется примером с конкретными значениями операторных коэффициентов.

Ключевые слова: задача Коши, алгебро-дифференциальное уравнение, фредгольмов оператор, малый параметр, явление погранслоя, уравнение ветвления.

Рассматривается задача Коши:

(1)

(2)

где , , — замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства в банахово пространство с всюду плотной в областью определения; — голоморфная в окрестности точки функция; ; .

Уравнением (1) описывается межотраслевой баланс [1], продольные колебания молекул ДНК, подача сырья при работе лесопромышленной системы [2] и т. д.

Исследуется влияние малого параметра на качественные свойства решения. В случае вырожденного оператора это влияние может быть значительным, вплоть до разрушения системы. Иллюстрацией этого является «эффект бабочки» ‒ незначительное влияние на систему может иметь большие и непредсказуемые последствия в другом месте и в другое время.

В экономике (динамический межотраслевой баланс (Леонтьев)) невыполнение условий регулярности вырождения влечет большое расхождение между планируемым объемом производства () и полученным на практике.

Малый промежуток (в данном случае ), в котором происходит резкое изменение решения, называется пограничным слоем (погранслоем).

К вырожденным относятся операторы, обладающие свойством фредгольмовости.

Приведем необходимые сведения.

Свойство. Линейный оператор , действующий из банахова пространства в банахово пространство , обладает свойством фредгольмовости (с нулевым индексом), если имеют место следующие разложения в прямые суммы подпространств

(3)

где — ядро оператора , — прямое дополнение к ядру, — образ оператора , — дефектное подпространство; размерности ; сужение оператора на имеет ограниченный обратный [4].

Замечание 1. Всякий линейный оператор , задаваемый вырожденной квадратной матрицей, фредгольмов [5].

Замечание 2. Всякий линейный оператор , задаваемый числовой матрицей, ограничен [6].

Определение 1. Ограниченная функция , определенная на , называется функцией погранслоя вблизи точки , если при имеет место следующее поведение: на для любых и на [7].

Определение 2. Взадаче (1), (2) имеет место явление погранслоя, если

где — решение предельной задачи для задачи (1), (2). Условия, при которых имеет место явление погранслоя, называются условиями регулярности вырождения.

1. Исследование задачи (1), (2) на явление погранслоя

Перейдем к исследованию задачи (1), (2) на наличие явления погранслоя.

Здесь и далее рассматривается случай фредгольмова оператора , имеющего одномерное ядро.

Вводится: проектор на , полуобратный оператор

: , где обозначен единичный оператор в соответствующем подпространстве. Фиксируются элементы , , . В вводится скалярное произведение так, что .

Задача (1), (2) называется допредельной. А задача, в которой формально положено :

называется предельной. Предельная задача с данными из настоящего введения решена в работе [8].

1. Операторная пара (, ) регулярна.

Определение 3. Последовательность элементов , , определяемых формулой

назовем B-жордановой цепочкой .

Теорема 1. Операторная пара (, ) регулярна тогда и только тогда, когда -жорданова цепочка конечна [8].

Приведем результаты, полученные в работах [9], [10].

Вводится сумма по всевозможным перестановкам из элементов и элементов :

операторы, действующие из в :

коэффициенты , определяемые равенствами

Получено уравнение ветвления, помогающее выявлять наличие явления погранслоя в задаче и определять вид функций погранслоя

Регулярность операторной пары означает, что существует [8]

Число ‒ это длина B-жордановой цепочки .

Замечание 3. При имеет место равномерная сходимость решения задачи (1), (2) крешению предельной задачи.

Кроме того, зададим еще условия.

2. Операторы , ограничены.
3. Существует такое число , что

Тогда имеет место

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1–3. В задаче (1), (2) имеет место явление погранслоя при выполнении условия

(4)

2. Исследование одного линейного оператора на свойство фредгольмовости

Предложение. Линейный оператор

фредгольмов.

Доказательство. Строим подпространства:

Ядро и коядро конечномерны и имеют единичную размерность. Выполнение , влечет разложения (3). Оператор

ограничен. Далее,

следовательно, фредгольмов.

3. Пример

Исследовать на наличие явления погранслоя следующую задачу Коши в , заданную на отрезке :

(5)

(6)

1. Выпишем матрицы линейных операторов :

2. Оператор фредгольмов, что было доказано в предыдущем пункте.

3. Проверим условие 1. Вычисления показывают, что

Следовательно, если , то : операторная пара регулярна, длина B-жордановой цепочки оператора равна .

Пусть теперь . Имеем:

Поскольку (так как по условию ), следовательно, операторная пара регулярна, длина B-жордановой цепочки оператора равна

.

4. Проверим условие 2. Операторы

ограничены в силу замечания 2.

5. Проверим условие 3, вычислив значения при каждом :

Оно выполнено, поскольку по условию .

6. Далее,

тогда неравенство (4) будет выполнено при условии .

Тем самым, применив замечание 3 и теорему 2, получим следующий результат.

Теорема 3. При выполнении условия имеет место равномерная сходимость решения допредельной задачи (5), (6) кпредельной задаче.

Теперь пусть . При выполнении условия в задаче (5), (6) имеет место явление погранслоя.

Литература:

1. Экономико-математические методы и модели. Под ред. А. В. Кузнецова, Минск, БГЭУ, 2000.
2. Игнатенко, В. В. Моделирование и оптимизация процессов лесозаготовок / В. В. Игнатенко, И. В. Турлай, А. С. Федоренчик. — Учебное пособие для студентов по специальности «Лесоинженерное дело». — Мн.: БГТУ, 2004.
3. Кащенко, М. А. Исследование возмущенной модели Леонтьева межотраслевого баланса / М. А. Кащенко, В. И. Усков // Материалы международной научной конференции «Воронежская зимняя математическая школа — 2020». — Воронеж: ИПЦ «Научная книга», 2020. — С. 147–149.
4. Никольский, С. М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах / С. М. Никольский // Изв. АН СССР. Серия математическая. — 1943. — Т. 7, вып. 3. — С. 147–166.
5. Гельфанд, И. М. Лекции по линейной алгебре / И. М. Гельфанд. — Москва: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 320 с.
6. Бирман, М. Ш. Функциональный анализ / М. Ш. Бирман, Н.Я Виленкин,Е. А. Горин. — М.: Наука, 1972. — 544 с.
7. Zubova, S. P. The role of perturbations in the Cauchy problem for equations with a Fredholm operator multiplying the derivative / S. P. Zubova // Doklady Mathematics. — 2014. — Vol. 89. — P. 72–75.
8. Зубова, С. П. Сингулярное возмущение линейных дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной / С. П. Зубова. — Автореф. дисс. … канд. физ.-мат. наук. — Воронеж, 1973. — 11 с.
9. Zubova, S. P. Asymptotic Solution of the Cauchy Problem for a First-Order Equation with a Small Parameter in a Banach Space. The Regular Case / S. P. Zubova, V. I. Uskov // Mathematical Notes. — 2018. — Vol. 103, no. 3. — P. 395–404.
10. Усков, В. И. О погранслое для дескрипторного уравнения с малым параметром / В. И. Усков // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика: сборник научных трудов по материалам международной заочной научно-практической конференции «Прикладная математика. Математическое моделирование систем и механизмов». — Воронеж: ВГЛТУ, 2017. — № 10, ч. 5 (36). — С. 541–543.