Создание новых метрик в метрических пространствах при решении задач математического моделирования



В статье сформированы примеры функций со специальными свойствами для синтеза новых метрик в метрических пространствах.

Ключевые слова: метрика, метрическое пространство, аксиома, неубывающая функция, производная, интеграл.

Как и многие структуры абстрактной математики, понятие метрики в метрических пространствах относится к простому геометрическому понятию — расстоянию между двумя точками на плоскости. Метрики, будучи удобным способом оценить то, насколько один объект отличается от другого, имеют большое значение при построении математических моделей различных процессов и объектов.

Множество называется метрическим пространством , если для всех его элементов определена такая числовая функция двух аргументов, что для любых выполняются три аксиомы :

1. 
2. 
3. 

Элементы метрического пространства называют также точками , функцию — метрикой или расстоянием между точками

Перечисленные аксиомы согласуются с привычным представлением о свойствах расстояния. Аксиома 3 имеет существенное значение, когда точки попарно различны, в противном случае она следует из двух предыдущих аксиом [1, с. 16].

Для создания новых метрик используем специальные неубывающие функции , которые обращаются в нуль только при и удовлетворяют условию Применяя эти функции к имеющимся метрикам , получим новые метрики . Для таких функций выполняются следующие свойства: при .

Рассмотрим свойство производной функции при

. Учтём, что и воспользуемся определением производной для произвольной функции

т. е. при

— неубывающая функция, значит её производная .

В целом , то есть с увеличением значение производной уменьшается, следовательно, уменьшается коэффициент наклона касательных. Тогда в качестве производной подойдет выходящая, например, из значения 1, убывающая и повсюду положительная функция из известных функций, от которой необходимо взять интеграл и подобрать константу интегрирования так, чтобы выполнялось условие .

Проверим выполнение аксиом метрики для функции

.

1. Функция неубывающая и обращается в нуль только при . Следовательно, при .

по 1-ой аксиоме для исходной метрики .

по той же аксиоме.

2. Проверка симметричности по 2-ой аксиоме для исходной метрики : .
3. Проверка неравенства треугольника для по 3-ей аксиоме для исходной метрики и свойствам неубывающей функции :

.

Далее представлен графический анализ неубывающих функций со свойством и условием позволяющих создавать (синтезировать) новые метрики в метрических пространствах [2].

Проверка свойства проведена в работе либо аналитически, либо графически как проверка положительности значений функции двух переменных

В качестве производной первой функции выберем функцию вида — убывающая и положительная показательная функция при . Выберем значение

, тогда .

Находим неопределённый интеграл от :

Значение константы интегрирования определяется условием :

Графики функций представлены на рис. 1.

Рис. 1. График функции и её производной

Докажем аналитически выполнение свойства как неотрицательность значений функции двух переменных

, то есть

или

При этом меняются от 0 до бесконечности.

Рассмотрим — градиент функции — вектор, вдоль которого происходит наибольшее возрастание значений функции

.

Из положительности компонент вектора градиента делаем вывод, что при любых значениях при их дальнейшем увеличении значение функции будет увеличиваться, начиная с , т. е. при любых значениях — что и требовалось доказать.

Таким образом, функцию

можно использовать для создания новых метрик по имеющимся метрикам :

если — метрика, то также является метрикой.

В качестве производной второй функции выберем дробно-иррациональную функцию вида .

Находим неопределённый интеграл от :

Подберем константу интегрирования так, чтобы выполнялось условие :

Графики функций представлены на рис. 2.

Рис. 2. График функции и её производной

Докажем аналитически выполнение свойства как неотрицательность значений функции двух переменных

, то есть

или

При этом меняются от 0 до бесконечности.

.

Также как и в первом примере из положительности компонент вектора градиента делаем вывод, что при любых значениях при их дальнейшем увеличении значение функции будет увеличиваться, начиная с , т. е. при любых значениях — что и требовалось доказать.

Таким образом, функцию можно использовать для создания новых метрик по имеющимся метрикам :

если — метрика, то

также является метрикой.

Для третьего примера возьмем убывающую и повсюду положительную дробно-рациональную функцию вида После реализации тех же действий, что и в предыдущих примерах, получается следующий результат:

Графики функций представлены на рис. 3.

Рис. 3. График функции и её производной

Докажем выполнение свойства как неотрицательность значений функции двух переменных

. В данном случае воспользуемся графическим методом.

При этом меняются от 0 до бесконечности.

На рис. 4 представлен график функции двух переменных , из которого видно, что при любых значениях .

Рис. 4. График функции двух переменных

Таким образом, функцию можно использовать для создания новых метрик по имеющимся метрикам :

если — метрика, то — также является метрикой.

Функции в рассмотренных трех примерах различны, но у них есть общее свойство, которое заключается в том, что производные этих функций неотрицательны , однако уменьшаются с увеличением параметра . Это выражается как в графиках производных, так и в уменьшении коэффициента наклона касательных к графикам. При этом .

В метрическом пространстве (плоскость, состоящая из пар вещественных чисел — вещественная плоскость с декартовыми координатными осями) основная естественная метрика — евклидова метрика (расстояние между точками на плоскости)

.

С помощью выбранных функций

и

созданы новые метрики на базе евклидовой метрики

и соответственно.

Таким образом, в данной работе построены примеры функций для синтеза новых метрик в метрических пространствах с требуемыми свойствами, а также созданы новые метрики на основе евклидовой метрики и построенных функций .

Литература:

1. Филимоненкова, Н. В. Конспект лекций по функциональному анализу: Учебное пособие. — СПб.: Издательство «Лань», 2015. — 176 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература).

2. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с.