Анализ больших деформаций решетчатой пластины глаза

В работе рассмотрена устойчивость осесимметричных форм равновесия однородных изотропных пластин, моделирующих решетчатую пластинку диска зрительного нерва человека. В предположении, что несимметричная составляющая решения носит периодический характер, численным методом определено наименьшее значение нагрузки, при которой появляются волны в окружном направлении. Исследовано влияние различных условий закрепления пластины, наличия и размеров отверстия в центре пластины на величину критической нагрузки и форму потери устойчивости.

Ключевые слова: биомеханика глаза, круглая пластина, потеря устойчивости.

Введение. В данной работе была рассмотрена задача о потере устойчивости симметричной формы равновесия однородной круглой пластины. Такая пластина может быть простейшей моделью решетчатой пластины диска зрительного нерва человека [6]. Были поставлены две задачи: исследовать влияние условий закрепления края на величину критической нагрузки; рассмотреть задачу о возникновении неосесимметричных состояний у кольцевой пластины.

Впервые вопрос о существовании несимметричных решений у симметрично загруженной круглой пластины был рассмотрен в [1]. Исследуя большие прогибы пластины, загруженной постоянным давлением, авторы получают решение, соответствующее несимметричным формам равновесия.

Строгое доказательство существования несимметричного решения для симметрично нагруженной пластины было проведено в [2], а его единственность доказана в работе [3].

В работах [4], [5] для пологой сферической оболочки и круглой пластины при различных условияx закрепления и нагружения определены значения критической нагрузки, при которой происходит переход от симметричной формы равновесия к неосесимметричной.

Постановка задачи. Рассмотрим круглую изотропную пластину, защемленную по краю и находящуюся под действием равномерно распределенного давления. Запишем систему уравнений в виде [7]:

(1)

где w(r, θ) , F(r, θ) — неизвестные функция нормального прогиба и функция усилий; D = Eh ³ / 12(1-ν ² ) — цилиндрическая жесткость пластины, E — модуль упругости пластины, R — радиус пластины, h — толщина пластины, ν — коэффициент Пуассона материала пластины, p — нормальное давление, действующее на пластину; r и θ — полярные координаты срединной поверхности пластины: 0 ≤ r ≤ R , 0 ≤ θ ≤ 2 π ; оператор Лапласа Δ и дифференциальный оператор L имеют вид:

Функция F(r,θ) связана с возникающими при деформации усилиями в пластине, по следующим формулам [7]:

Предположим, что точки края r = R закреплены от поворотов, но свободно смещаются в радиальном и окружном направлениях. В этом случае растягивающее ( T _r ) и сдвигающее ( S ) усилия на контуре полагаем равными 0:

(2)

Введем безразмерные переменные

Тогда система уравнений (1) примет следующий вид (знак * в дальнейшем опускаем):

Граничные условия сохраняют вид (2).

Для сплошной пластины граничные условия (2) должны быть дополнены условиями ограниченности решений в центре

Метод поиска несимметричного решения. Нам нужно найти критическое значение нагрузки p = p _cr , при котором возможна бифуркация пластины в неосесимметричное состояние. При значениях нагрузки p меньше критического значения система (3), дополненная необходимыми граничными условиями, имеет только симметричное решение. Несимметричное решение этой системы появляется при возрастании нагрузки.

Будем искать решение в виде

(4)

где функции w _s , F _s описывают докритическое симметричное решение, а функции w _ns (r, θ) = w _n (r) cos(nθ) , F _ns (r, θ) = F _n (r) cos(nθ) — закритическое состояние пластины (здесь n — число волн в окружном направлении, образовавшихся после потери устойчивости).

Подставляя (4) в (3), с учетом обозначений получаем систему уравнений для симметричного решения задачи:

(5)

Граничные условия (2) с учетом ограниченности решений в центре пластины примут вид

(6)

Для несимметричного решения после разделения переменных получим линейную систему уравнений относительно w _n (r) и F _n (r)

(7)

(8)

Учитывая ограниченность искомых решений, в центре пластины полагаем

(9)

Для каждого числа волн n будем искать такие значения нагрузки p _n , при которых существуют отличное от нуля решение системы (7)-(9) при условии (5)-(6). Под критической нагрузкой p _cr будем понимать наименьшее значение нагрузки p _n , т. е. p _cr = min _n (p _n ).

Схема численного решения задачи состоит из двух этапов и аналогична методу, описанному в работах [4], [5]. На первом этапе решается симметричная задача (5)-(6). Для заданных p и n вычисляются w _s , F _s и их производные. Затем с помощью метода конечных разностей проверяется существование решения несимметричной задачи.

Пластина с упруго-заделанным краем . Нелинейная задача теории пластин и оболочек допускает различные варианты граничных условий на краю пластины. Рассмотрим случай наличия по краю пластины упругой связи (пружины), препятствующей ее свободному смещению в радиальном направлении, тогда проекция вектора перемещения u на ось r и тангенциальное усилие T _r на внешнем крае взаимосвязаны, т. е. k _u u + T _r = 0, где k _u — коэффициент упругости заделки.

Таким образом, система уравнений (1) сохраняется, а граничные условия запишутся в виде

Чтобы выразить компоненту перемещения u(r, θ) через искомые функции w , F , воспользуемся представлением компонент деформации ε _r , ε _θ , ω через компоненты вектора перемещения u , v , w, с одной стороны, и усилий T _r , T _θ , S , с другой:

(11)

После разделения переменных (4) граничные условия для симметричной задачи (5) запишутся в виде

(12)

Для системы (7), описывающей несимметричное решение, граничные условия примут вид

(13)

Случай кольцевой пластины . В случае кольцевой пластины вместо условий ограниченности решений в центре пластины необходимо задать граничные условия. Одним из возможных вариантов закрепления внутреннего края ( r = δ ) может быть свободное перемещение точек края в радиальном и окружном направлении при ограничении поворотов. Тогда необходимо принять равным нулю поперечное реактивное усилие, складывающееся из поперечной силы и производной от крутящего момента. В терминах нормального перемещения w и функции усилий F граничные условия запишутся в следующем виде:

(14)

На внешнем крае пластины r = 1 в общем случае можно задать условия упругой заделки (10). Тогда система уравнений, описывающая симметричное равновесное состояние, примет вид

(15)

с граничными условиями

Результаты. Были проведены серии расчетов для находящейся под давлением однородной пластины, а также для пластины с упруго-заделанным краем, для кольцевой пластины и для пластины, совмещающей эти свойства.

Таблица 1

Значения критических нагрузок и соответствующих волновых чисел для однородной сплошной пластины.

В случае упругой связи по краю пластины, с ростом жесткости пружины k _u пластина переходит в неосесимметричное состояние при более высоких величинах критической нагрузки и с образованием большего числа волн в окружном направлении, что можно увидеть в таблице 2. В таблице 3 представлены минимальные критические нагрузки для рассмотренных k _u .

Таблица 2

Значения критических нагрузок и соответствующих волновых чисел для однородной сплошной пластины с упруго-заделанным краем.

Таблица 3

Минимальные значения критических нагрузок и соответствующих волновых чисел для однородной сплошной пластины с упруго-заделанным краем

Значения критических нагрузок и соответствующих им волновых чисел, полученных в результате вычислений для кольцевой пластины при различных значениях радиуса отверстия δ , показаны в таблице 4. Наименьшие значения нагрузки для каждого δ представлены в таблице 5.

Таблица 4

Значения критических нагрузок и соответствующих волновых чисел для однородной кольцевой пластины

Минимальные значения критических нагрузок и соответствующих волновых чисел для однородной кольцевой пластины.

В случае наличия у кольцевой пластины упруго-заделанного края, так же, как и в случае сплошной пластины, при увеличении жесткости пружины k _u переход в неосесимметричное состояние происходит при более больших значениях критической нагрузки и с образованием большего числа волн. Результаты расчетов можно увидеть в таблице 6. В таблице 7 показаны наименьшие критические значения нагрузки и соответствующие им волновые числа для каждого рассмотренного δ и k _u = 0.001, 0.01, 0.05.

Таблица 6

Значения критических нагрузок и соответствующих волновых чисел для кольцевой пластины с упруго-заделанным краем

Таблица 7

Минимальные значения критических нагрузок и соответствующих волновых чисел для кольцевой пластины с упруго-заделанным краем

Для k _u = 0.1, 0.2, 0.3, рассмотренных в случае сплошной пластины, значения критических нагрузок оказываются очень большими при большом числе образующихся волн. Пример для случая k _u = 0.1 приведен в таблице 8.

Таблица 8

Минимальные значения критических нагрузок и соответствующих волновых чисел для кольцевой пластины с упруго-заделанным краем при k _u = 0.1

Заключение. В данной работе представлены результаты численного исследования потери устойчивости осесимметричных форм равновесия однородных сплошных и кольцевых пластин при различных условиях закрепления внешнего края.

Литература:

1. Панов Д. Ю., Феодосьев В. И. О равновесии и потере устойчивости пологих оболочек при больших прогибах // ПММ. Т.XII. 1948. С. 389–406.
2. Морозов Н. Ф. К вопросу о существовании несимметричного решения в задаче о больших прогибах круглой пластины, загруженной симметричной нагрузкой // Изв. Высш. Уч. Заведений. Математика. 1961. № 2. С. 126–129.
3. Piechocki W. On the non-linear theory of thin elastic spherical shells // Arch. Mech. Stos. 1969. N21. P. 81–101.
4. Huang N. C. Unsymmetrical buckling of thin shallow spherical shells // J. Appl. Mech. 1964. N31. P. 447–457.
5. Cheo L. S., Reiss E. L. Unsymmetric wrinkling of circular plates // Quart. Appl. Math. 1971. N31. P. 75–91.
6. Bauer S. M., Voronkova E. B. On the deformation of the Lamina Cribrosa under intraocular pressure // Russian Journal of Biomechanics. 2001. Vol. 5. N1. P. 73–82.
7. Бауэр С. М., Воронкова Е. Б. О потере устойчивости симметричных форм равновесия круглых пластин под действием нормального давления // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2012. Вып. 1. С. 80–85.