О некоторых бинарных задачах для прогрессий

В работе рассматривается задача о распределении натуральных чисел, принадлежащих заданному классу вычетов по некоторому модулю и представимых в виде суммы u+v, где u,v- члены двух заданных последовательностей натуральных чисел. Получены достаточные условия, при выполнении которых плотность множеств представимых чисел положительна для всех классов вычетов по данному модулю k. Обобщается известная теорема Н.П. Романова на случай, когда представимые числа принадлежат арифметической прогрессии.

In the work the following problem is considered about distribution of the natural numbers belonging to the set class of deductions on some module and representable in the form of the sum u+v, where u, v are the members of two set sequences of natural numbers. Sufficient conditions are received at performance of which the density of sets of representable numbers is positive for all classes of deductions on the given module k. N.P. Romanov's known theorem for n a case when representable numbers belong to an arithmetic progression is generalised.

Мы рассмотрим здесь вопрос о распределении натуральных чисел, принадлежащих заданному классу вычетов по некоторому модулю и представимых в виде суммы где и члены двух заданных последовательностей натуральных чисел. При этом мы исследуем вопрос о зависимости числа представимых чисел интервала при условии, когда модуль растет вместе с длиной интервала.

Рассмотрим сначала задачу Н.П.Романова [1] о числах представимых в форме где - пробегает простые числа, - натуральные числа, - заданное целое число обобщив ее на случай, когда представимые числа принадлежат арифметической прогрессии.

Пусть - число представлений натурального числа суммой и - заданные целые числа, причем Согласно тождеству Романова

где

В дальнейшем целое число не будет меняться в течение наших рассуждений.

Введем в рассмотрение функцию

означающую показатель числа по модулю , т.е. наименьшее среди натуральных чисел, таких что (отсюда видно, что функция определена для тех которые взаимно просты с а).

Отметим, что однако функция не является мультипликативной. Например, если и - различные простые числа, и число является первообразным корнем по модулям и одновременно, то из мультипликативности функции следовало бы, что , в то время первообразных корней по модулю как известно не существует.

Лемма 1. Если то Действительно, т.к. и то

Из известных свойств показателя вытекает, что

Лемма 2. Пусть

Тогда справедливо равенство

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пользуясь известным свойством функции Мебиуса, получаем:

Если и - наименьшее из тех натуральных для которых то сравнение равносильно сравнению

Так как то и последнее сравнение означает, что т.е.

По лемме 1 множество чисел разбивается на полных систем вычетов по в каждой из которых содержится ровно одно число удовлетворяющее сравнению Поэтому

откуда следует утверждение леммы.

Мы можем теперь оценить снизу величину

Если то по теореме Зигеля-Вальфиша при (где - любое фиксированное положительное число&#﴿; справедливо неравенство

где - абсолютная

положительная константа. Поэтому

В силу леммы 2 последняя сумма равна

Положим

Из леммы 2 следует, что и

Оценим сверху величину

Применим метод решета к задаче об оценке величины

где и - натуральные числа, и - целые числа, и - простые числа.

Простые числа сравнимое с по модулю такие что - простое число сравнимое с (отсюда следует, что ) принадлежат множеству целых чисел, остающихся после вычеркивания из нулевых классов вычетов и классов вычетов, определяемых числом по простым модулям, а также всех классов вычетов кроме определяемого числом по простым делителем Так как причем то речь идет о натуральных числах таких, что числа и - одновременно простые. Воспользуемся следующей леммой.

Лемма 3. Пусть - целые числа, Тогда число натуральных чисел не превосходящих таких, что числа - одновременно простые не превосходят

,

где - число решений сравнения

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеется в [4]. Применим лемму 3 к случаю Тогда - число решений сравнения

Поэтому при если и

При имеем:

Отсюда следует:

Оценим последнюю сумму как функцию от

Положим

Так как то

Внутренняя сумма равна

Поэтому

Пусть - любое натуральное число, тогда

Так как

и то ввиду очевидной оценки

имеем:

Отсюда преобразованием Абеля получаем:

Объединяя полученные оценки, имеем:

Откуда

Воспользуемся теперь неравенством Романова–Шнирельмана [4], согласно которому

(в данном случае - количество чисел прогрессии непревосходящих , представимых в форме ).

Так как правая часть неравенства возрастает по и убывает по , то из полученных оценок и следует:

при условии (заметим, что так как последнее условие обеспечивает оценку &#﴿;.

Таким образом справедлива

Теорема 1. Пусть - число натуральных чисел представимых в формеи не превосходящих ,

где - показатель числа по модулю ,

Тогда, если то имеет место неравенство

где - положительная абсолютная константа.

Заметим, что условие существенно: при нарушении его множество чисел прогрессии представимых в форме , имеет нулевую асимптотическую плотность.

Действительно

Так как

то отсюда следует:

Как было установлено выше,

Отсюда и из предыдущей оценки вытекает, что

В связи с этим представляет интерес исследование вопроса о положительности суммы

Так как при числа попарно несравнимы по модулю , а число непримитивных классов вычетов по модулю есть то при условии по крайней мере одно из чисел попадает в примитивный класс и Следовательно справедливо

Теорема 2. Пусть - целые числа, - показатель числа по Если , то число чисел любого класса вычетов по , представимых в виде имеет положительную асимптотическую плотность. Это обобщение известной теоремы Н.П.Романова, которая следует отсюда при

В частности, если - простое число, то и поскольку при получаем такое

Следствие 1. Если - целое число, то в каждом классе вычетов по простому модулю число чисел представимых в форме имеет положительную асимптотическую плотность.

Рассмотрим другой частный случай, когда число является первообразным корнем по , т.е.

В этом случае, наше условие означает, что Если , где - простое число, то Поэтому из теоремы 2. вытекает также

Следствие 2. Если - нечетное простое число, и - целые числа, причем - есть первообразный корень по , то множество чисел любого класса вычетов по , представимых в форме имеет положительную асимптотическую плотность.

Литература:

1. Romanov N.P. Uber einige Sartze der additiven Zahlentheorie, Math. Ann.109 (1934).668-678.

2. Selberg S. A generalization of a theorem of Romanoff, Kong. Norse vid.Selsc.For handl.35,17 (1962),91-95

3. Фaйнлейб А.С., Оразов М. Бинарные аддитивные задачи с показательной функцией. Литовский математический сборник. 1978. №4.с.187-198.

4. Оразов М. Аддитивные задачи с редкими последовательностями, канд. диссертация, Чарджоу,1982.