Структурный метод нахождения Z-образа дискретной последовательности



В статье рассматривается алгоритм нахождения Z-образа дискретной последовательности, отсчеты которой могут быть заданы рекуррентной формулой или системой разностных уравнений конечного набора аналитических функций.

Ключевые слова : Z-преобразование, структурная схема, передаточная функция.

Z-преобразование является удобным математическим аппаратом для анализа дискретных сигналов и систем. Если дискретная функция задана аналитической формулой, ее Z-образ есть сумма бесконечного ряда, если ряд сходится, то Z-образ — дискретная функция. В литературе, например, в [1] приводится таблица Z-преобразования для ряда дискретных функцию.

В работе предложен вариант нахождения Z-образа путем построения структурной схемы дискретной системы по аналитической формуле дискретной последовательности.

Пусть дискретная последовательность f(n) задана аналитически — известна формула, определяющая значение n-го члена последовательности f(n) и значение f(0).

Вариант 1: f(n) может быть выражено через f(n-1)

(1)

где С — константа.

Уравнение (1) можно рассматривать как разностное уравнение рекурсивного фильтра первого порядка, ему соответствует структурная схема, приведенная на рисунке 1 и передаточная функция

Рис. 1. Структурная схема фильтра для разностного уравнения (1)

При подаче на вход фильтра дискретной дельта-функции δ(n), на выходе получим импульсную характеристику фильтра, равную заданной дискретной последовательности f(n), следовательно, H(z) — Z-образ последовательности f(n).

Пример 1.

Пусть С в (1) равно 1, тогда

f ₁ (n) — единичная последовательность, Z-образ последовательности

Вариант 2: Функция g(n)= f(n- k), получена сдвигом на k отсчетов функции f(n), структурная схема которой известна и Z-образ которой F(z), по свойству Z-преобразований G(z) = F(z) z ^{- k} , структурная схема приведена на рисунке 2.

Рис. 2. Структурная схема при сдвиге последовательности на k отсчетов

Пример 2.

Пусть задана функция

f ₂ (n) — сдвинутая на один такт вправо функция f ₁ (n), H ₂ (z) = H ₁ (z)z ^-1 , получаем

Вариант 3: f(n) может быть выражена через f(n-1) и аддитивную константу С

(2)

Перепишем (2), используя другие обозначения

(3)

Выполним Z-преобразование над правой и левой частями (3)

(4)

Выражение в скобках в уравнении (4) — это Z-образ единичной функции (H ₁ (z) из примера 1, получаем

Возвращаясь к функции f(n), запишем

где F(z) — Z-образ для f(n).

Окончательно получаем

(5)

Аддитивная константа реализуется последовательным соединением каскада рекурсивного фильтра первого порядка, каскада, формирующего единичную последовательность и задержки, для сдвига единичной последовательности на 1 (рисунок 3).

Рис. 3. Структурная схема для включения константы

Пример 3.

Пусть задана функция линейной дискретной последовательности

При этом f ₃ (n) = f ₃ (n-1) + 1, тогда Z-образ последовательности

Вариант 4: Имеются две функции f(n) и g(n), такие что

Построим структурную схему (рисунок 4), соответствующую уравнениям, для упрощения, не изменяющие принципов преобразования структурной схемы, примем С ₃ = С ₅ = 0.

Рис. 5. Структурная схема для двух дискретных последовательностей

Выполним преобразование структурной схемы (рисунок 6):

1) многовходовые сумматоры представим совокупностью двухвходовых;

2) для каждого умножителя на константу используем сигнал с собственной задержкой.

Схема с использованием обозначений каскадов приведена на рисунках 7. Передаточные функции выделенных каскадов

(6)

(7)

(8)

(9)

Выполнив эквивалентные преобразования структурной схемы [2], получим схему, представленную на рисунке 7.

Полученная в результате эквивалентных преобразований структурная схема позволяет записать передаточную функцию системы для выхода f(n)

(10)

Рис. 6

Рис. 7

Выполнение Z-преобразования сводится к последовательному выполнению следующих шагов:

1) Нахождение рекуррентного выражения для нахождения значения отсчета f(n) через f(n-1) и, возможно, некоторый набор других k функций g ₁ (n), g ₂ (n), …, g _k (n), причем каждая из функций g _i (n), i=1:k, также может быть представлена через f(n) и остальные функции g _j (n), j=1:k, j≠i.

2) Формирование структурной схемы дискретной системы для получения значений функций f(n) и g _i (n), I=1:k при входном воздействии — дискретная дельта функция δ(n).

3) Выполнить эквивалентные преобразования структурной схемы для выхода f(n) до получения линейной структуры (элементами могут быть параллельные соединения или каскады с обратной связью).

4) Записать передаточную функцию системы F(z).

5) Результат получен: F(z) есть Z-образ f(n).

Литература:

1. Гольденберг Л. М. и др. Цифровая обработка сигналов: Справочник — М.: Радио и связь, 1985. — 312 с.
2. Бесекерский В. А. Теория систем автоматического управления / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. — 4-е изд., перераб. и доп. — СПб.: Профессия, 2004. — 747 с.