Построение локально оптимальных систем с использованием проекционного метода



В данной работе рассматривается применение проекционных операторов при разрешении задачи синтеза локально оптимальных управлений объектом, структуру которого можно охарактеризовать наличием нелинейности. В основе рассматриваемой методики лежат проекторы, позволяющие отобразить рассматриваемую задачу синтеза на линейное многообразие и упростить ее разрешение.

Ключевые слова: задача Коши, локально оптимальное управление, нелинейность, проекционный оператор, функция оптимальности.

Пусть математическая модель объекта управления определена на основе нелинейных разностных уравнений с гладкой правой частью вида (1):

(1)

где — векторы исходных значений координат состояний, управлений, возмущений и выходных координат. Операторы определяют правые части уравнений системы (1). Свойства данных систем подробно изложены в работе [1].

При осуществлении синтеза оптимальных управлений для объекта, описываемого уравнением (1), необходимо использовать кусочно-линейные уравнения для учета типовых нелинейностей, подробно описываемые в работе [3]. Тогда объект управления типа (1) можно описать в виде задачи Коши для кусочно-линейных разностных уравнений согласно формуле (2):

(2)

где , , , — векторы отклонений состояний, управлений, возмущений и выходных координат от стационарных состояний , , ,

. — кусочно-линейные операторы класса , . Матрицы разностных уравнений объекта управления:

(3)

соответствуют матрицам Якоби в точках , , , .

Стоит отметить, что локально оптимальные ограниченные (ЛОУ) управления с обратной связью определяются равенством (4):

(4)

где — матрица обратной связи. Далее будут представлены базовые задачи, разрешение которых позволит вычислить управления .

На основе применения проекционных операторов ЛОУ можно представить управления в виде оптимальной выпуклой комбинации двух экстремальных граничных решений и , описываемой равенством (5):

(5)

где

— так называемая «фильтрующая матрица», позволяющая выделить из множества расширенных векторов векторы управлений , а функция оптимальности подразумевает минимизацию функционала , определяемого с использованием евклидовой нормы, и определена соотношением (6):

(6)

где

,

.

Таким образом, на основе уравнений (5), (6) можно сформировать векторы управлений с обратной связью по состоянию , которые позволяют минимизировать норму векторов отклонений прогнозов управлений от программных значений .

Далее требуется задать «множества моделей», которые позволяют учесть нелинейности уравнений объекта типа (2) по координатам состояний или выхода и имеющие вид (7):

(7)

«Множества ограничений» — множества неравенств, ограничивающих расширенные векторы по координатам состояний или управлений

. Для статических законов они имеют вид (8):

(8)

где — расширенный вектор «выходов-управлений», и — «точки линеаризации» для уравнений объекта, — постоянные граничные параметры.

Таким образом, базовые задачи позволяют оптимальные управления, позволяющие минимизировать функционал качества, определяемый евклидовой нормой отклонений вектора

от значений , типа (9):

(9)

для статического закона c соответствующими множествами «моделей» (7) и «ограничений» (8), имеют вид (10):

(10)

где управления с помощью матрицы определяются из решений счетного числа задач конечномерной оптимизации: вычислить числовые векторы:

(11)

Задачи класса (11) можно разрешить с использованием проекционных операторов конечномерной минимизации. Следующим шагом является аппроксимация задач типа (10). Эллипсоиды ограничений аппроксимируют параллелепипед, причем область ограничений для векторов будет описываться в соответствии с уравнением (12):

(12)

Центр и полуоси эллипсоидов определяются согласно соотношениям (13):

(13)

Для случая, когда матрицы , замена переменных в (12) определяет новые переменные в соответствии с соотношением (14):

(14)

причем эллипсоид преобразуется в шар.

С учетом этого соотношения для определения статических ЛОУ потребуется разрешить базовые задачи вида (15):

(15)

Таким образом, на основе уравнений (15) можно сформулировать разностные операторы, характеризующие замкнутые системы, согласно соотношениям (16):

(16)

где — числовой параметр допустимости. Граничные условия для данной задачи могут быть представлены следующим образом:

(17)

Разностные операторы систем локально оптимального управления на основе (1), (3), (16) и (17) определяют задачу Коши:

(18)

с зависящей от координат состояния «функцией оптимальности»

где является числовым параметром, а именно точкой безусловного минимума на прямой, проходящей через точки и

, которые определяются уравнением (19):

(19)

где — проекционный оператор на линейное подпространство , — матрица, определяющие проекцию на линейное многообразие , — коэффициенты оптимальности. Стоит отметить, что операторы и

должны обладать следующими свойствами, доказательство которых приведено в [2] и [3]:

(20)

Данный проектор позволяет вычислить функцию оптимальности как проекцию точки безусловного минимума нормы на отрезок прямой, содержащий граничные элементы , согласно уравнению (18).

Таким образом, были построены математические модели замкнутых локально оптимальных систем, описываемые уравнениями (17) и (18). Успешный синтез системы, в свою очередь, приводит к задаче осуществления анализа устойчивости синтезированной системы. Провести данный анализ можно, например, с использованием метода сжимающих отображений, что представлено в работах [3], [4].

Литература:

1. Козлов В. Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость энергообъединений. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2017. — 177 с.

2. Козлов В. Н. Проекционный метод оптимизации оптимальных ограниченных управлений динамических систем. — СПб: Издательско-полиграфическая ассоциация высших учебных заведений, 2018. — 190 с.

3. Козлов В. Н. Проекционный метод синтеза ограниченных оптимальных управлений динамических систем энергетики. — СПб: ПОЛИТЕХ-ПРЕСС, 2019. — 165 с.

4. Козлов В. Н. Системный анализ, оптимизация и принятие решений: учебное пособие / В. Н. Козлов. — М: Проспект, 2014. — 173 c.