Автор в статье рассказывает об основных аспектах преподавания теории вероятности в школе.
Ключевые слова: теория вероятностей, событие, статистика, элементарное событие, игральная кость.
Разделы теории вероятностей и статистики новые для российской школы. Задача курса — очертить основные цели, этапы и содержание теории вероятностей и статистики. Статистика первична. Тысячи лет в школьных программах господствовали идеи предопределённости и закономерности. Тем не менее, жизнь полна случайных событий; практически все величины вокруг нас изменчивы. Необходимость изучения изменчивости средствами математики стала очевидной не так давно: начало исчисления вероятностей относится к XVII веку, а строгой математической наукой теория вероятностей становится к середине XX века.
У человека не может сложиться полноценная и непротиворечивая картина мира, если он воспринимает мир упрощённо, не учитывает влияние случайностей, изменчивости явлений, ошибок и погрешностей. Вокруг много числовой информации, поэтому важной частью человеческой культуры становится культура статистическая. Математические методы статистики изучать в школе не следует, но стоит познакомить школьников с началом описательной статистики и обработки данных.
Слово статистика происходит от латинского status — положение вещей . Это название, объединяющее сбор, подсчёт и анализ количественных данных предложил немецкий ученый Готфрид Ахенвалль. Статистика — эмпирическая наука о данных, подверженных случайной изменчивости. Собирая данные, описывая их, статистика пытается делать правдоподобные выводы, искать связи и строить прогнозы. Центральное место в статистике занимает идея статистической устойчивости. Она позволяет по изученным свойствам одних совокупностей судить о других подобных совокупностях объектов.
Теория вероятностей является для статистики теоретическим фундаментом. Исчисление шансов, исчисление вероятностей зародилось в играх: людей интересовали шансы выиграть, построение выигрышных стратегий. Сегодня теория вероятностей — серьёзный раздел математики, область её применения уже давно не ограничивается исключительно играми. В настоящее время приложения теории вероятностей имеются во многих областях, например, в экономике, медицине, биологии, физике, страховом деле, лингвистике и т. д.
Вместе теория вероятностей и статистика составляют область знания, которая называется стохастикой. Статистика — эмпирическая её часть, тогда как теория вероятностей — теоретическая. Можно сказать, что статистика и теория вероятностей разными средствами изучают изменчивый мир. Статистика идёт к описанию реальных явлений от эксперимента, а теория вероятностей — от математических моделей. Теория вероятностей объясняет и обосновывает само явление статистической устойчивости, во многих случаях умеет выделять в изменчивых явлениях тенденции и отделять их от бессистемных случайных колебаний. Поэтому теорию вероятностей важно изучать в курсе математики основной школы.
Часто считают, что статистические данные — это обязательно большие массивы. На самом деле, даже одна величина может являться статистическим данным, если её использовать как источник информации.
Представление статистических данных . Статистические данные нужно собрать, систематизировать и представить подходящим образом. Основные виды — текстовое, табличное и графическое представление.
Описательная статистика — обработка собранных данных с помощью подходящих характеристик. Например, частот, средних значений, мер рассеивания или симметрии.
Анализ статистических данных — умение на основе данных и их описания делать выводы, выдвигать, проверять или опровергать гипотезы, исследовать случайную изменчивость первичных данных и описательных характеристик.
Начала теории вероятностей — теоретические основания для изучения закономерностей случайной изменчивости.
Математические методы статистики в школьном курсе не изучаются.
Предметные результаты изучения статистики и вероятности на базовом уровне должны обеспечивать:
– умение оперировать понятиями: столбиковые и круговые диаграммы, таблицы; среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах числового набора;
– умение извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах и на диаграммах, отражающую свойства и характеристики процессов и явлений;
– умение распознавать изменчивые величины в окружающем мире;
– умение оперировать понятиями: случайный опыт, элементарное событие, случайное событие, вероятность события;
– умение находить вероятности случайных событий в опытах с равновозможными элементарными событиями;
– умение решать задачи методом организованного перебора и с использованием правила умножения;
– умение оценивать вероятности реальных событий и явлений, понимать роль практически достоверных и маловероятных событий в окружающем мире и в жизни;
– знакомство с понятием независимых событий;
– знакомство с законом больших чисел и его ролью в массовых явлениях.
Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому совокупное действие случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. Под законом больших чисел в узком смысле понимают ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных совокупностей условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.
Рассмотрим элементарные события. В каждом опыте можно выделить элементарные события, из которых состоят все остальные события. Здесь можно провести аналогию с геометрией. Геометрические фигуры на плоскости состоят из точек. Точно так же события внутри случайного опыта состоят из элементарных событий. В результате случайного опыта обязательно наступает только одно элементарное событие. Каждому элементарному событию назначается вероятность. Чаще всего это сделать непросто, но есть такие случайные опыты, в которых все элементарные события считаются равновозможными в силу симметрии.
Пример. В случайном опыте бросания монеты два элементарных события: выпадение орла и выпадение решки. Монета симметрична, поэтому оба эти события равновозможны и обоим назначается вероятность 0,5.
Пример. При подбрасывании игральной кости элементарных событий шесть: «выпадет одно очко», «выпадет два очка» и т. д. вплоть до события «выпадет шесть очков». Эти события также равновозможны, каждому из них назначается вероятность 16.
Опытов с равновозможными элементарными событиями не так много, в основном это искусственные опыты: игры, жеребьёвка и т. п.
Пример. Игральную кость бросают дважды. В этом опыте 6⋅6=36 элементарных событий, которые удобно представить таблицей.
Таблица 1
Элементы событий
|
1;1 |
1;2 |
1;3 |
1;4 |
1;5 |
1;6 |
|
2;1 |
2;2 |
2;3 |
2;4 |
2;5 |
2;6 |
|
3;1 |
3;2 |
3;3 |
3;4 |
3;5 |
3;6 |
|
4;1 |
4;2 |
4;3 |
4;4 |
4;5 |
4;6 |
|
5;1 |
5;2 |
5;3 |
5;4 |
5;5 |
5;6 |
|
6;1 |
6;2 |
6;3 |
6;4 |
6;5 |
6;6 |
Элементарное событие нельзя разделить на более простые. Может возникнуть вопрос, почему пару чисел, выпавших при двух бросаниях игральной кости, нельзя разделить на два более простых события: выпадение числа при первом броске и выпадение числа при втором броске. Ответ состоит в том, что выпадение первого числа является элементарным событием, но не в нашем опыте, а в опыте с одним броском. (При этом в нашем опыте это тоже событие, но не элементарное, так как оно отвечает целой строке из клеток таблицы).
Литература:
- Тюрин Ю. Н., Макаров А. А., Симонова Г. И. Теория вероятностей. М.: МЦНМО, 2009.
- Тюрин Ю. Н., Макаров А. А., Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Теория вероятностей и статистика. Экспериментальное учебное пособие для 10 и 11 классов общеобразовательных учреждений. М.: МЦНМО, 2014.
- Тюрин Ю. Н., Макаров А. А., Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Теория вероятностей и статистика. Методическое пособие для учителя. М.: МЦНМО, 2011
