О влиянии классов групп на подгрупповые функторы



В статье рассматриваются только конечные группы. Установлено влияние свойств класса групп на свойства подгруппового функтора, выделяющего в каждой группе все ее -нормальные максимальные подгруппы.

Ключевые слова: конечная группа; класс групп; подгрупповой функтор.

В последнее время в алгебре в рамках теории конечных групп активно развивается теория подгрупповых функторов, позволяющая устанавливать связь между свойствами классов групп и внутренним строением конечных групп (см., например, [2]). Большую роль в теории конечных групп играет понятие максимальной подгруппы группы. С развитием теории классов групп стали изучаться максимальные подгруппы в группах, связанные с рассматриваемыми классами. Центральное место среди них заняли -нормальные и -абнормальные максимальные подгруппы, где – непустой класс групп (см., например, [10]). Существенный вклад в развитие данного направления внесли такие ученые, как С.Ф. Каморников, М.В. Селькин, В.С. Монахов, А.Н. Скиба, Л.А. Шеметков, K. Дерк, T. Хоукс, А. Баллестер-Болинше и многие другие алгебраисты (см., например, [2, 4–7, 10–12]). Рассматриваемое в работе понятие -нормальной максимальной подгруппы, где – класс групп,

– непустое множество простых чисел, естественным образом обобщает понятие -нормальной максимальной подгруппы.

Цель данной работы состоит в исследовании свойств подгрупповых функторов в зависимости от свойств данного класса конечных групп. Установлено влияние свойства Q ^-1 -замкнутости класса групп на свойства подгруппового функтора, выделяющего в каждой группе все ее -нормальные максимальные подгруппы.При доказательстве утверждений используются методы теории групп, теории классов групп, а также методы теории подгрупповых функторов. Обозначения и определения для групп и классов групп стандартны (см., например, [2, 3]). Приведем лишь некоторые из них.

Запись ( , , ) означает, что – подгруппа (соответственно собственная, максимальная, нормальная подгруппа) группы

; – ядро подгруппы в группе , т.е. наибольшая нормальная подгруппа группы , содержащаяся в ; – наибольшая нормальная π -подгруппа группы , где –непустое множество простых чисел [3].

Отображение , ставящее в соответствие каждой группе

некоторую непустую совокупность её подгрупп, называется подгрупповым функтором , если для любого изоморфизма каждой группы ([2, с. 9]).

Совокупность групп называется классом групп, если из и всегда следует, что [3, с. 161]. Пусть – непустое множество простых чисел. Через

и обозначаются соответственно классы всех конечных групп и всех конечных ω -групп.

Пусть – непустой класс групп. Следуя [2], максимальную подгруппу группы назовем - нормальной максимальной подгруппой группы , если выполняется следующее условие: .

Класс групп назовем Q ^-1 - замкнутым , если из

для некоторой подгруппы , , всегда следует, что . Примером Q ^-1 -замкнутого класса групп является насыщенный класс групп. Напомним, что класс групп называется насыщенным , если выполняется следующее условие: из , всегда следует, что [3, с. 162].

Исследуем влияние свойства Q ^-1 - замкнутости класса групп на свойства подгруппового функтора, выделяющего в каждой группе все ее - нормальные максимальные подгруппы. Предварительно докажем следующую лемму.

Лемма 1. Пусть – конечная группа, – непустое множество простых чисел. Если , , , то

.

Доказательство . Пусть , ,

. Покажем, что

(1).

Введем следующие обозначения: пусть , , . Таким образом, в силу введенных обозначений, достаточно показать, что (2).

Так как = =

то по определению операции пересечения имеем (3).

Поскольку и , то по лемме 1.53 [3, с. 43] . Тогда по теореме 1.59 [3, с. 46] справедливо

(4). Из включений и следует, что и, значит,

(5).

Так как, согласно определению ядра подгруппы в группе,

– наибольшая нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , то из (4) и (5) следует, что

(6).

Из (3) и (6) получаем, что

(7).

Далее, по определению операции пересечения, имеем

(8). В силу леммы 1.53 [3, с. 43] и теоремы 1.59 [3, с. 46], имеем . Так как , то и, согласно теореме 1.37 [3, с. 34], справедливо включение . Согласно теореме 2.4 [3, с. 59], Следовательно, и поэтому . Поскольку

− наибольшая нормальная подгруппа группы , принадлежащая классу , то

(9).

Из (8) и (9) получаем, что (10).

Из (7) и (10) следует, что включение (2) верно, и, значит, включение (1) справедливо. Таким образом,

.

Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть – непустой Q ^-1 -замкнутый класс групп, – непустое множество простых чисел, – подгрупповой функтор, ставящий в соответствие каждой группе объединение множества и совокупности всех -нормальных максимальных подгрупп группы . Если – конечная группа, , , то

.

Доказательство.

Пусть – конечная группа, , . Покажем, что . Из условия , в силу задания подгруппового функтора , следует, что либо 1) , либо 2) –

-нормальная максимальная подгруппа группы .

Рассмотрим каждый из случаев.

1) Пусть . Тогда по теореме 1.59 [3, с. 46] и, следовательно, .

2) Пусть – -нормальная максимальная подгруппа группы . Это означает, что

(1) и

(2).

Из (1), ввиду леммы 3.17 [3, с. 112], получаем, что (3). Покажем, что . Введем следующие обозначения:

пусть , , . Тогда условие (2) примет следующий вид:

(4).

Из леммы 1 следует, что Тогда по теореме 2.5 [3, с. 59] . Так как – Q ^-1 -замкнутый класс групп, то последнее, ввиду (4), означает, что

(5).

Поскольку , то по теореме 2.5 [3, с. 59] . Ввиду того, что – класс групп, то последнее, в силу (5), означает, что

(6).

Из равенства , следует, что . Тогда по теореме 2.5 [3, с. 59] имеем . Так как – Q ^-1 -замкнутый класс групп, то последнее, с учетом (6), означает, что , т.е.

(7).

Таким образом, из (3) и (7) получаем, что

.

Теорема доказана.

Литература:

1. Каморников С.Ф., Селькин М.В. О влиянии максимальных подгрупп примарного индекса на строение конечной группы // Известия высшего учебного заведения. Математика. 1995. № 6. − С. 24−28.
2. Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. – Минск: Беларуская навука, 2003. – 254 c.
3. Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов: учебное пособие. – Минск: Вышэйшая школа, 2006. – 207 с.
4. Селькин М.В. Конечные группы с заданными -абнормальными максимальными подгруппами // Конечные группы. – Минск: Наука и техника, 1978. – С. 143–151.
5. Селькин М.В. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп. − Минск: Беларусская наука, 1997. – 145 с.
6. Селькин М.В. О влиянии максимальных подгрупп на формационное строение конечных групп // Конечные группы. – Минск: Наука и техника, 1975. – С. 151–163.
7. Селькин М.В. О максимальных подгруппах конечных групп // ДАН БССР. 1974. Т. 18, № 11. − С. 969−972.
8. Скиба А.Н. О решетке подгрупповых функторов // Вопросы алгебры. – Гомель, 1996. Выпуск 10. – С. 177−186.
9. Шеметков Л.А. Два направления в развитии непростых конечных групп // Успехи математических наук. 1975. Т. 30, № 2. − С. 179−198.
10. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. – Москва: Наука, 1978. – 272 с.
11. Ballester-Bolinches A. Maximal subgroups and formations // J. Pure Appl. Algebra. 1989. V. 62. − P. 223−232.
12. Doerk K., Нawkes T. Finite soluble groups. − Berlin − New York: Walter de Gruyter, 1992. – 893 p.