Разработана математическая модель синтеза антенных решеток из пяти точечных излучателей. В основе модели лежат направленные функции Грина, удовлетворяющие граничным условиям неразрывности по угловым координатам. С помощью предложенной модели проведен синтез пятиэлементной антенной решетки электромагнитных волн точечного направленного источника сферических электромагнитных волн, находящихся в свободном пространстве. Также приведены результаты расчетов при разных частотах. Максимальная погрешность алгоритма составляет от 20 до 25 %.
Ключевые слова: синтез антенн, граница раздела сред, направленная функция Грина.
Математическая модель
Рассмотрим следующую задачу: нужно определить взаимное расположение источников, если известно пространственное распределение амплитуды электрического поля. Известны следующие характеристики: магнитная и диэлектрическая проницаемости воздуха, мощность источников излучения.
Рис. 1. Геометрия рассматриваемой задачи. И — источник излучения, П — приемник, λ — длина волны
Достаточно большое количество математических моделей, описывающих распространение электромагнитных волн, строятся на частных решениях волнового уравнения и уравнений Максвелла с граничными условиями неразрывности амплитуды поля и неразрывности волнового сопротивления [1,3]. Решением волнового уравнения является уравнение Гельмгольца, а равноправными решениями уравнения Гельмгольца являются две сопряженные друг с другом функции Грина [2, 4]. Одна из функций Грина описывает расходящиеся от поверхности излучателя волны G l (M,M 0 ), а вторая — сопряженная с ней G l -1 (M,M 0 ) [5]. Строго говоря, общим решением уравнения Гельмгольца необходимо считать сумму этих функций:
M — точка приема сигнала с координатами x и y;
M0 — точка излучения сигнала с координатами x 0 и y 0 ;
Направленная функция Грина имеет вид:
где F l (θ) =1, если θ lmin ≤ θ ≤ θ lmax при l=1,2,3,…,l. F l =0 при остальных значениях θ.
Результаты расчетов
Моделирование проведено в программной среде MathCad. В ходе моделирования изменялись только частота излучателя и толщина слоя льда. Приведено три графика.
Исходные данные расчета поля точечного излучателя:
c — фазовая скорость распространения электромагнитных волн в среде 3·10 8 м/с;
f — частота излучателя;
P — мощность излучателя;
В графиках показаны зависимости амплитуды компоненты электрического поля PPS(x) и функции плотности источников VVS(x) от расстояния x.
Рис. 2. График распределения амплитуды напряженности электрического поля в пространстве. f = 5 МГц, P = 35Вт
Рис. 3. График распределения функции плотности источников. f = 5 МГц, P = 35Вт
Рис. 4. График распределения амплитуды напряженности электрического поля в пространстве. f = 10 МГц, P = 35Вт
Рис. 5. График распределения функции плотности источников. f = 10 МГц, P = 35Вт
Рис. 6. График распределения амплитуды напряженности электрического поля в пространстве. f = 10 МГц, P = 70 Вт
Рис. 7. График распределения функции плотности источников. f = 10 МГц, P = 70 Вт
Выводы
Главным преимуществом метода является скорость вычисления (2–3 минуты при расчете значений функции Грина в 1000 точек на ноутбуке средней мощности).
Приведенная математическая модель может быть применена для моделирования распространения электромагнитных волн от нескольких источников в свободном пространстве.
Литература:
- Фок В. А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. ˗ М.: Советское радио, 1970. 476 с.
- Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. — Ленинград: Судостроение, 1972. 348 с.
- Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. — М.: Наука, 1973. 340 с.
- Cross J. D., Atkins P. R., Electromagnetic Propagation in Four-Layered Media Due to a Vertical Electric Dipole: A Clarification. Institute of Electrical and Electronics Engineers, 2015 vol. 2, issue: 2. Available at: https://ieeexplore.ieee.org/document/6991576
- Короченцев В. И. Волновые задачи теории направленных и фокусирующих антенн. — Владивосток: Дальнаука, 1998. 192 c.
