Теорема Пикара



В статье рассматривается теорема Пикара и доказывается существование решения задачи Коши методом последовательных приближений.

Ключевые слова: метод последовательных приближений, теорема Пикара, существование решения задачи Коши, условие Липшица.

Постановка задачи Коши. Теорема Пикара.

Рассмотрим задачу Коши

(1.1)

Функция задана в области G плоскости

, содержащий замкнутый прямоугольник Предположим, что выполнены следующие условия:

1) Пусть непрерывна в области по совокупности переменных и, следовательно, (по теореме Вейерштрасса) равномерно ограничена там. Тогда существует постоянная

2) Пусть удовлетворяет в условию Липшица по переменной , т. е.

постоянная Липшица , не зависящая от и .

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши).

Пусть выполнены условия 1) и 2). Тогда на отрезке

существует единственное решение задачи (1.1).

Следующее утверждение существенно используется при доказательстве сформулированной теоремы.

Лемма 1. Пусть функция непрерывна по совокупности переменных в некотором прямоугольнике

Тогда задача Коши (1.1) эквивалентна интегральному уравнению

(1.2)

которое рассматривается в классе непрерывных функций.

Доказательство: Пусть решение (1.1), целиком лежащее в D. Тогда, подставляя его в (1.1) и интегрируя полученное тождество в пределах от до получим, что удовлетворяет уравнению (1.2).

С другой стороны, если непрерывная функция является решением (1.2), то

также непрерывна, а

является непрерывно дифференцируемой функцией переменной . Следовательно, решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальным условиям y(

Итак, мы показали эквивалентность задачи (1.1) и (1.2).

Доказательство существования решения задачи Коши.

Для доказательства теоремы применим метод последовательных приближений (метод Пикара). Определим итерационный процесс метода последовательных приближений так:

(1.3)

где произвольная непрерывная функция, график которой целиком лежит в области D. На каждой итерации задача (1.3) разрешима, и ее решение при представимо в виде

(1.4)

Далее, в силу условия имеем Поэтому интегральная кривая не покинет угол между диагоналями прямоугольника и, следовательно, В результате получим некоторую функциональную последовательность Исследуем ее свойства.

Лемма 2. Функциональная последовательность сходится равномерно на множестве .

Доказательство: Рассмотрим функциональный ряд

(1.5)

Оценим абсолютные величины членов ряда (1.5):

(1.5')

далее,

На основании условия Липшица подынтегральная функция удовлетворяет неравенству

Теперь

(1.5'')

Аналогично получим:

и наконец

Далее

Подставив в последний интеграл вместо выражение получаем:

Теперь, учитывая замену его наибольшим допустимым значением H, мы приходим к заключению, что каждый член ряда (1.5) меньше соответствующего члена числового ряда с положительными членами:

(1.6)

По признаку Даламбера мы получаем

Следовательно, ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве (признак Вейерштрасса), а значит функциональная последовательность также сходится равномерно на множестве т. е.

Докажем, что полученная таким образом функция удовлетворяет интегральному уравнению (1.2).

Возьмем равенство (1.4):

и перейдем к пределу при

Благодаря равномерной непрерывности функции по мы для любого наперед заданного положительного числа ℇ можем найти такое что неравенство

будет выполнено для тех пар точек

и области D, для которых выполняется неравенство (в силу условия Липшица достаточно взять ). Далее, из равномерности стремления последовательности к пределу вытекает возможность для выбранного так подобрать натуральное число , чтобы при для всех значений в интервале имело место неравенство:

Сопоставляя оба эти неравенства, мы получаем при

Отсюда следует:

Пользуясь произволом числа ℇ, находим:

Таким образом, переходя к пределу в (1.4) при , получаем тождество:

т. е. удовлетворяет интегральному уравнению (1.2).

Лемма 3. Функциональная последовательность сходится к непрерывному решению интегрального уравнения (1.2), записанного выше.

Доказательство: Поскольку все функции непрерывны, а функциональная последовательность

Кроме того, равномерная сходимость непрерывных функций является достаточным условием для перехода к пределу под знаком интеграла в выражении (1.4). В результате получим

т. е. предел последовательных приближений удовлетворяет интегральному уравнению (1.2), эквивалентному задаче Коши (1.1). Итак, существование решения задачи Коши для скалярного уравнения доказано.■

Литература:

1. Исраилов С. В., Юшаев С. С. Многоточечные и функциональные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Нальчик, «Эль-Фа» 2014 г.
2. Исраилов С. В. Исследование некоторых многоточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывными правыми частями и с сингулярностью: Дис. канд. физ.-мат. наук. Баку. 1964 г.