Теорема существования и единственности решения задачи Коши



В статье рассматривается теорема Пикара и доказывается единственность решения задачи Коши.

Ключевые слова: теорема Пикара, единственность решения задачи Коши, условие Липшица.

Постановка задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши

(1)

Функция задана в области G плоскости

, содержащий замкнутый прямоугольник Предположим, что выполнены следующие условия:

1) Пусть непрерывна в области по совокупности переменных и, следовательно, (по теореме Вейерштрасса) равномерно ограничена там. Тогда существует постоянная

2) Пусть удовлетворяет в условию Липшица по переменной , т. е.

постоянная Липшица , не зависящая от и .

Замечание. Условие Липшица будет выполнено, в частности, если

Очевидно, что если интегральная кривая, проходящая через точку существует, то она не покинет прямоугольник до точки где

Действительно, уравнения «крайних» интегральных кривых, удовлетворяющих задаче Коши

имеют вид

Подставив уравнения горизонтальных границ области в эти уравнения, получим

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши).

Пусть выполнены условия 1) и 2). Тогда на отрезке

существует единственное решение задачи (1).

Следующее утверждение существенно используется при доказательстве сформулированной теоремы.

Лемма 1. Пусть функция непрерывна по совокупности переменных в некотором прямоугольнике Тогда задача Коши (1) эквивалентна интегральному уравнению

(2)

которое рассматривается в классе непрерывных функций.

Доказательство единственности решения задачи Коши.

Для доказательства единственности будет использовано следующее утверждение.

Лемма (Гронуолла) . Пусть существует постоянная L такая, что для всех и выполнено неравенство

(3)

Тогда при справедлива оценка

(4)

В случае имеет место

Доказательство:

1) Пусть Положим

тогда в силу (3) имеем

(5)

Так как дифференцируемая функция, то выполнено откуда в силу вытекает, что

Далее интегрируя, имеем

ln ln ln

откуда после потенцирования получаем

2) Пусть . Если (3) выполнено для то тем более (3) верно при всех т. е. справедлива оценка (4). Полагая в (4), получим откуда следует, что Лемма доказана. ■

Лемма 2. Интегральное уравнение (2) имеет единственное решение

Доказательство: Предположим, что имеется два различных решения уравнения (2) и Тогда их разность удовлетворяет интегральному уравнению

откуда

Полагая

получим неравенство, доказанное в лемме Гронуолла в случае

Замечание. Условие Липшица может быть заменено более удобным требованием наличия непрерывной в D (и потому ограниченной) производной Тогда существует постоянная

такая, что

т. е. выполнено условие Липшица.

Литература:

1. Н. М. Матвеев. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва, 2015 г.
2. Танкиев И. А. Исследование некоторых краевых задач для счетных систем ОДУ. Диссертация. Баку, 1976 г.