Исследование прикладных свойств функции f(x)=ax + b/x



В статье систематизированы сведения о функции , которая используется в школьном курсе математики и физики. Подобная систематизация включает в себя не только изучение свойств этой функции, но и раскрытие ее прикладного характера. Прикладные свойства функции можно использовать в качестве эвристического метода при решении некоторых физических задач.

Ключевые слова : функция, экстремум функции, асимптота, физическая задача, неравенство Коши.

Для полного исследования и понимания свойств функции нам нужно рассматривать частный случай для этой функции. Пусть a =1 и b =1. Тогда мы получим функцию и построим ее график.

Функция f(x) определена при всех действительных х, кроме х=0, и является непрерывной на каждом из промежутков ( - ; 0) и (0; +).

Функция f(x) является нечетной, так как ее область определения симметрична относительно нуля и для каждого х из области определения выполняется равенство: = - ( = -

График функции не пересекает координатные оси Ох и Оу, так как уравнение не имеет действительных решений и х = 0 не входит в область определения.

Видим, что   при х  0. Это значит, что график имеет вертикальную асимптоту х = 0, причем

 +  при х  0, х0, а  -  при х  0, х  0.

Видно также, что   при х  . Это значит, что график может иметь наклонную асимптоту. Действительно, по определению, y = kx + b – наклонная асимптота, если – ( kx + b)  0 , при х  . В нашем случае

 0 при х, то есть прямая у = х является наклонной асимптотой графика у . Причем видно, что при х  + график функции расположен выше асимптоты, т.к. «добавка», равная , положительна, а при х -  график функции расположен ниже асимптоты, т.к. «добавка», равная , отрицательна. Так как х и при всех х  0 взаимно обратны, то у = 2 – минимальное значение функции на (0; +), а у = - 2 – максимальное значение на (- ; 0). Осталось выяснить, нет ли других экстремумов.

Функция дифференцируема в каждой точке области определения и

f (x) = 1 - =

Критические точки функции находим из уравнения f (x) = 0. Уравнение

= 0 имеет два корня: х= - 1 и х =1 .

Точки -1, 0, 1 развивает числовую ось на четыре промежутка:

(-; -1), (-1; 0), (0, 1), (1; +).

Неравенство f (x)  0, то есть  0, выполняется при х - 1 и при х  1, а неравенство f (x)  0 – при -1  х  0 и при 0  х  1.

Следовательно, функция возрастает на промежутках ( - ; -1] и [1; +), убывает на промежутках [-1; 0) и (0;1] , в точках х = -1 и х = 1 она имеет экстремумы.

Пользуясь нечетностью функции, построим весь график (рис.1).

Рис.1

Рассмотрим теперь пример из математики, при анализе которого используются основные свойства функции , ab  0.

Пример 1. Найдите пары чисел (х; у),удовлетворяющие уравнению:

22 – - = +

Анализ: Запишем исходное уравнение виде:

( + ) + ( ) =22 (1)

Воспользуемся доказанным ранее неравенством для .

Тогда +  8  14

Следовательно: (

+ ) + ( )  22

Поэтому уравнение (1) равносильно системе

Рассмотрим пути применения функции в процессе решения физической задачи.

Пример 2. Поезд начинает двигаться с постоянным ускорением а вдоль прямолинейного участка пути. На расстоянии l от последнего вагона на перпендикуляре к направлению движения поезда находится пассажир. С какой минимальной скоростью может бежать пассажир, чтобы догнать поезд? В каком направлении он должен бежать в этом случае? Движение пассажира считать равномерным.

Анализ. Пусть встреча пассажира с последним вагоном произошла в точке В (рис.2). Треугольник АВС прямоугольный. Тогда, используя теорему Пифагора, можно записать

Рис.2

BC2 = AB2 – l2, или,

Отсюда выразим квадрат начальной скорости:

.

Для того чтобы скорость υ ₀ была минимальной, необходимо, чтобы сумма принимала минимальное значение. Используем неравенство Коши для суммы двух взаимно обратных функций:

и получаем:

Обратим внимание на то, что минимальная скорость достигается при условии или

Значит, СВ= l , т.е. треугольник ACВ — равнобедренный, и  =45. Получили, что пассажиру следует бежать под углом 45 к АС со скоростью .

Литература:

1. Бардушкин В.В., Прокофьев А.А. Функция и использование ее при решении задач // Потенциал. – 2013.-№2
2. Мукушев Б.А. Функция в физических задачах // Потенциал. – 2015.-№12