Изучение экспоненциальных зависимостей физических процессов на уроках математики



В статье рассматриваются примеры из физики из различных разделов физики. Объединяющим фактором этих примеров является экспоненциальный характер математического описания физических процессов.

Ключевые слова: экспоненциальная зависимость, экспонента, число Е, скорость изменения физической величины, дифференциальное уравнение.

Одним из задач исследования прикладной математики является изучение физических процессов, в которых скорость изменения некоторой величины пропорциональна уже достигнутому значению самой этой величины .

Обозначим через y(t) значение рассматриваемой физической величины в момент времени t . Через y мы обозначим изменение величины у за малый промежуток t от t до t+t то есть

y = y(t+t)-y(t)

Скорость изменения величины у можно приближенно представить отношением . Если для величины y скорость ее изменения в момент времени t пропорциональна достигнутому значению y(t) этой величины, то мы приходим к соотношению

 ky,

где k коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент может быть как положительным числом, так и отрицательным.

При t это соотношение можно писать в таком виде:

= ky

Последнее уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка. С ним школьники старших классов знакомы с математики. Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

y(t) = y(0) , (1)

где у(0) называется начальным условием, т. е. значение величины у в момент времени t=0 , е — основание натуральных логарифмов.

Функции в зависимости от некоторых величин, содержащие число «е», называют экспонентами. Формулу (1) в большинстве случаев пишут так:

y(t) = y(0) exp kt.

Экспоненциальные зависимости в физических явлениях

Пример 1 . Катер массы m движется по озеру со скоростью  ₀ . В момент t=0 выключили его двигатель. Считая силу сопротивления воды движению катера пропорциональной его скорости F = -r, найти скорость катера в зависимости от времени.

Анализ: После выключения двигателя катер движется только под действием силы сопротивления воды. Поэтому уравнение движения катера в скалярном виде:

— r = ma -r = m или = -( )

Последнее выражение называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Значит убывание скорости катера прямо пропорционально самой скорости катера.

Дифференциальное уравнение напишем в такой форме:

=-(

)dt

Интегрируя это выражение

=

получим ln =-( ) t

откуда

= ₀

Пример 2. Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки t . Объем сосуда V , первоначальное давление p ₀ . Процесс считать изотермическим и скорость откачки, не зависящей от давления и равной С .

Примечание: Скоростью откачки называют объем газа, откачиваемый за единицу времени, причем этот объем измеряется при давлении газа в данный момент.

Анализ: За время dt объем откачки газа равен dV=Cdt

Поскольку, процесс изотермически, напишем:

pV=const

Или

d(PV) = VdP + PdV = 0

откуда

Следовательно,

или

Проинтегрировав

-

найдем уравнение давления газа в зависимости от времени:

p=p ₀

Пример 3 . Найти закон радиоактивного распада как функцию времени t. В начальный момент (t=0) мы имели N ₀ атомов радиоактивных атомов. Из эксперимента известно, что среднее число атомов, распадающихся за малый промежуток времени, пропорционально количеству имеющихся атомов.

Анализ: Из условия задачи мы можем написать следующие уравнения:

Знак минус перед скоростью распада означает, что идет убыль численности не распавшихся атомов.

Поскольку t0, последнее выражение напишем в форме дифференциального уравнения:

Отсюда найдем закон радиоактивного распада:

N=N ₀

Если принимается во внимание понятие периода полураспада Т, то этот закон примет вид

N=N ₀

Пример 4. Известно, что при наличии разности температур между телом и окружающей средой теплоотдача тела за время t определяется формулой

Q k(T — T _c )t

Q — количество отдаваемой теплоты тела к окружающей среде за время t; Т — температура тела, T _c — температура окружающей среды, коэффициент k зависит от поверхности и природы тела.

Пусть тело нагрето до температуры Т ₀ ; температуру окружающей среды считаем постоянной (Т _с Т ₀ ). Найти зависимость температуры Т тела от времени охлаждения t.

Анализ: При охлаждении тела количество отдаваемой теплоты выражается через Q=СT. Тогда мы можем написать следующее уравнение:

СT= — k(T — T _c )t

или

-

.

Следовательно,

-

Знак минус выбран потому, что возрастанием времени t температура Т тела уменьшается.

Разделяя переменные, получим

= —

Отсюда

= — t +

Подставляя начальное условие T _{t =0} =T ₀ , найдем С. C = T ₀ -T _C .

Окончательно закон охлаждения тела в условиях постоянства температуры окружающей среды имеет вид

T=T _c + (T ₀ -T _C )

В условиях T _C =0 получим

T=T ₀

Пример 5. Установить формулу, характеризующую динамику цепной ядерной реакции в зависимости от времени, если известно следующие параметры данной реакции: скорость развития цепной реакции зависит от коэффициента k размножения нейтронов и от среднего времени  между двумя последовательными актами деления. Таким образом, коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость прироста нейтронов приблизительно равен .

Анализ: Прирост числа нейтронов за единицу времени характеризует следующее дифференциальное уравнение:

Интегрируя это уравнение, получим

N=N ₀

Пример 6. Доказано, что параллельный пучок лучей (или частиц), проходя через слой вещества, уменьшает свою интенсивность.

Если толщина слоя достаточно мала, то изменение интенсивности пучка пропорционально толщине слоя:

Ik ₁ l

А количество поглощенных квантов (или рассеянных частиц) пропорционально интенсивности пучка:

I = — k ₂ I

Коэффициенты k ₁ и k ₂ зависят от свойств поглощающей среды. Найти закон ослабления интенсивности излучения при прохождении через поглощающую среду.

Анализ: Объединяя обе формулы, приведенные в условии задачи, получим:

I — kIl

Отсюда:

I=I ₀ .

Литература:

1. Осятинский С. Д., Л. З. Румшиский. Экспонента // Квант. — 1972. — № 12. с.19–25.
2. Слободецкий И. Ш., Асламазов Л. Г. Задачи но физике.- М.: Наука, 1980.—(Библиотечка «Квант», вып. 5). — 198 с.