Жүктелген параболалық теңдеу үшін жартылай периодты шеттік есеп



Шектеулі облыстағы параболалық типтегі спектрлік-жүктелген дифференциалдық теңдеулер үшін екі шекаралық есепті шығарайық.

Кілттік сөздер: параболалық теңдеу, спектрлік, елеулі, Фурье-коэфициенті, шеттік, дифференциалдық .

Решение двух краевых задач для спектрально-нагруженных дифференциальных уравнений параболического типа в конечной области.

Ключевые слова: параболическое уравнение, спектральный, значимый, коэффициент Фурье, маргинальный, дифференциал .

Бірінші шеттік есептің берілуі.

облысындағы келесі шеттік есепті қарастырамыз:

мұндағы — берілген нүкте, — берілген сан,

— берілген функция.

Екінші шеттік есептің берілуі.

облысындағы келесі шеттік есептің шешімділік сұрақтары зерттеледі:

мұндағы

Ескерту 1. (1)-(2) қатынастармен анықталатын жүктелген дифференциальдық операторы кеңістігінде тұйықталмайды, сондықтан (1)-(2) есепті зеттеу үшін келесі қосымша локальді емес есепті қарастырамыз:

Айта кетейік, (7)-(9) шеттік есеп үшін операторы кеңістігіндегі оператормен тұйықтаушысы болып табылады. Сонымен қатар, (1)-(2) және (7)-(9) шеттік есептері өзара байланысты екендігі көрінеді. Шынымен де, (7)-(9) шеттік есептің регуляр шешімі (1)-(2) есебінің шешіміндей болады. Керісінше, (1)-(2) регуляр есептің шешімі талап етілген реттегі туындыларға ие болса, онда ол регуляр (7)-(9) есептің де шешімі болады.

(1), (4) теңдеулері жүктелген болып табылады [1]. Берілген теңдеудің сол жағымен анықталатын оператордың негізгі бөлігінде жүктелген қосылғыштың бар болуы берілген есептің ерекшілігі болып табылады. [2,3,4] жұмыстарында негізінен осындай жүктелген операторлар қарастырылған, бірақ операторлардағы жүктелген қосылғыш әлсіз ауытқу болып табылады. (1), (4) теңдеулері үшін бұл шарт орындалмайды, сондықтан (1), (4) дифференциалдық теңдеулері спектрлік немесе «елеулі» жүктелген болып табылады.

Ескерту 2. (4)-(5) есепті зеттеу үшін облысында келесі көмекші локальді емес есепті қарастырамыз:

(4)-(5) және (10)-(14) шеттік есептері өзара байланысты. Шынымен де, (10)-(14) шеттік есептің регуляр шешімі (4)-(5) есебінің шешіміндей болады. Керісінше, (4)-(5) регуляр есептің шешімі талап етілген реттегі туындыларға ие болса, онда ол регуляр (10)-(14) есептің де шешімі болады.

Әрі қарай қажетті кейбір анықтамаларды береміз.

болсын және (8)-(9) шарттары орындалсын делік.

Анықтама 1. Егер келесі шарттарды қанағаттандыратын функциялардың тізбегі бар болса, онда функциясын (7)-(9) шеттік есептің әлді шешімі деп атаймыз:

Анықтама 2. (7)-(9) шеттік есебінің әлді шешімін (1)-(2) шеттік есептің әлді шешімі деп атаймыз.

1. Әлді шешімнің жалғыз болуы мен бар болуы туралы теоремалар.

Алдымен бірінші шеттік есепті қарастырайық және ол үшін келесі тұжырымның орындалатынын көрсетейік.

Теорема 1. Келесі шарттар орындалғанда және тек сонда ғана кез келген функциясы үшін (1)-(2) шеттік есебінің әлді шешімі бар болады:

мұндағы .

Салдар 1.

болсын. Бұл жағдайда 1-теореманың орындалуы үшін келесі шарттың орындалуы қажетті және жеткілікті

1-салдардың тұжырымдауы келесі фактінің қарапайым салдары болып табылады: кез-келген үшін өрнегінің жорамал бөлігі нөлге тең емес, себебі бұл өрнектің бөлімі нақты және жорамал бөліктері әрқашанда нөлден өзгеше сан болып табылады.

Салдар 2. болсын. Онда (1)-(2) шеттік есептің операторы нөлдік өзіндік мәнге ие және оған сәйкес өзіндік функция келесідей анықталады:

1-теореманың дәлелдеуі. Осы теореманы дәлелдеу үшін біз сызықтық шеттік есептердің әлді шешімділігін зерттеу үшін қолданылатын айнымалыларды бөліктеу әдісін дамыту бойынша А. А. Дезиннің [5] нәтижелеріне сүйенеміз.

(7)-(9) есептің шешімін келесі жіктеу түрінде іздейміз:

(1)-(2) шеттік есептің Фурье коэффициенттерін табу екінші ретті жүктелген, қарапайым дифференциалдық теңдеу үшін келесі шеттік есепті аламыз:

(19) есептің жалғыз шешімі келесі түрде болады:

мұндағы

түрінде анықталады, егер

болса. және өрнектерін болғанда тікелей немесе (21) және (22) формулалардағы ұмтылғанда шекке ауысу арқылы алуға болады:

(7)-(9) есептің Фурье коэффициенттері үшін қойылған шеттік есептің регуляр шешімі функциясы жеткілікті тегіс болған жағдайда (20) формуламен анықталатынын көрсетуге болады. Сонымен, келесі түрдегі кез-келген ақырлы қосынды

(7)-(9) шеттік есептің регуляр шешімін анықтайды, мұндағы функциясы функциясының сәйкес тегістігі үшін (20) формуласымен анықталады.

(1.1.20) формуласынан келесі априор бағалауларын аламыз:

мұндағы тұрақтысы -тен тәуелді емес, яғни (23) бағалауы бойынша бірқалыпты.

(23) бағалауын дәлелдеуде Грин функциясы үшін келесі бағалау қолданылады

Шынымен

.

Осыдан:

(23) бағалауды алу үшін болғанда (20) формуладан келесі қатынасты аламыз:

(20) формуланың жекелеген қосылғыштары мен олардың (24)- (25) туындылары үшін келесі қатынасты аламыз:

(мұнда екені ескеріледі).

Мұнда біз келесі формуланы қолдандық:

Соңғы қосылғышты бағалайық:

Сонымен,

(24) теңдіктің оң жағындағы қосылғыштар (25) теңдіктің оң жағында да бар болғандықтан, келесі бағалауды алу қиын емес.

Енді (23) бағалауын алуға болады. Шынында да аламыз

үшін (20) формула негізіндегі есептеулер осыған ұқсас алынады. [5], (с.118–119) нәтижелерінің негізінде (23) бағалауын ескере отырып, (7)-(9) шеттік есептің бірмәнді әлді шешімділігін дәлелдейміз. Осыдан дәлелденіп отырған теорема тұжырымының дұрыс екені шығады.

Сонымен қатар, біздің қарастырғандарымыздан бойынша бірқалыпты болатын келесі бағалау шығады:

және туындылар үшін келесі бағалаулар дұрыс:

(26) және (23) бағалаулары берілген шеттік есептің әлді шешімінің дифференциалдық қасиеттерге ие болуын көрсетеді.

Дәлелдеу соңында, (3) шартында талап етілген функциясын функциясымен алмастыруға болатынын айта кеткен жөн. Бұл жағдайда (23) бағалауы келесі түрде болады:

Екінші шеттік есепті қарастырайық.

Анықтама 3. Егер келесі шарттарды қанағаттандыратын функциялардың тізбегі бар болса, онда функциясын (10)-(14) шеттік есептің әлді шешімі деп атаймыз:

2⁰.

Мұнда біз , , болғанда және (11)-(14) шарттары орындалғанда,

деп есептейміз.

Анықтама 4. (10)-(14) шеттік есебінің әлді шешімін (4)-(5) шетті есептің әлді шешімі деп атаймыз.

Осы анықтамалардан және тұйық операторларының анықталу облыстарының сәйкес келетіні шығады. Бұдан:

Екінші шеттік есеп үшін келесі тұжырым дұрыс болады.

Теорема 2 . Келесі шарттар орындалғанда және тек сонда ғана кез келген

функциясы үшін (4)-(5) шеттік есебінің әлді шешімі бар болады:

мұндағы , , функциясы (21) формуламен анықталған.

Екінші теорема бірінші теорема сияқты дәлелденеді.

Әдебиет:

1. Дюво Г., Лионс Ж.-Л.Неравенства в механике и физике,М.:Наука, 1980,383с.
2. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения// Дифференц. Уравнения, 1983, Т.19,№ 1,С.86–94.
3. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений, Алматы, компьютерный центр ИТПМ,1995,270с.
4. Дженалиев М. Т. О нагруженных уравнениях с периодическими граничными условиями// Дифференц. Уравнения, 2001,Т.37,№ 1,С.48–54
5. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач, -М.:Наука,1980,207с