Существует три подхода к определению понятия суммы ряда чисел [1]: в первом случае понятие суммы бесконечного числа членов считается бессмысленным. Сторонники второго подхода считали, что любая сумма может быть бесконечным множеством и что сумма может быть определена с помощью арифметических операций. При третьем подходе выделяются только те, которые могут быть включены в понятие суммы во всех числовых рядах, а остальные не исследуются. Этот подход, основанный на теории пределов, оказался очень эффективным. Этот подход все еще развивается сегодня в результате расширения класса множеств.
Рассмотрим задачу суммирования расходящихся рядов путем сведения к повторному ряду. Если сумма ряда определяется иначе, чем традиционным методом, ее принято называть обобщенной суммой ряда [2].
Как видите, ниже приводится краткое изложение.
называется двойным рядом.
В приложении математического анализа (1) двойной ряд часто рассматривается как повторяющийся ряд по внешнему виду:
или
В частности, можно заметить, что следующие повторяющиеся ряды со специальным видом эффективны при суммирования расходящихся рядов:
Расходящиеся знакопеременные ряды можно классифицировать по таким трем классом [2]:
1.
Ряды с постоянным радиусом обвертывания:
Сумма такого ряда равна
2.
Ряды с ограниченным радиусом обвертывания:
3. Ряды с бесконечным радиусом обвертывания:


Ниже мы рассмотрим формулы суммирования расходящихся рядов с использованием специальных повторяющихся рядов, которые нужны на практике:
Доказательство:
Справа налево уравнения:
Задача 1. Рассчитайте сумму ниже:
Решение:
Согласно формуле (1):
Еще раз используем (1):
Как результат,
Приведем теперь примеры суммирования расходящихся рядов по следующим формулам, доказанным в [2]:
где
Доказательство этого утверждения дается предположением
Задача 2. Найдите сумму следующего ряда:
Решение :
Согласно формуле (3):
В этом случае результат не зависит от
Задача 3. Найдите сумму следующего ряда:
Решение:
Согласно формуле (3):
Запишем правую и левую части уравнения следующим образом:
Подводить итоги,

Задача 4. Найдите сумму следующего ряда:
Решение:
Согласно формуле (3):
Упрощая это выражение, приходим к равенству
На основе суммы, найденной в задаче 3 выше (
Литература:
- Alimov Sh.O. Ashurov R. R. Matematik tahlil. (1-qism). Toshkent. “Kamolot-press”, 2012. 616-b.
- Пономаренко А. Н. Метод суммирования расходящихся рядов путем сведения к повторному ряду//Молодой учёный.№ 12. 2013.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегральногo исчисления. — М: Наука, 1966.