Исследование динамики цен акций с помощью копула-функций

Введение

Целью работы является анализ динамики цен акций российских компаний с помощью копула-функций.

Свои истоки понятие копула-функция берет с 1940-х годов, впервые этот термин появился в работах W.Hoeffding. Современное понятие копула-функции ввел A. Sklar. Наибольшее количество статей и научных работ по копула-функциям выходит в 2000-х годах, когда копула-функции начинают активно использоваться в микро- и макроэкономике. Здесь стоит упомянуть книгу Roger B Nelsen (2006), работы Embrechts et al. (2002), Г.И.Пеникаса (2010-2011), Е.М.Бронштейна, Е.И.Прокудиной, А.С. Герасимовой, К.Г.Дубинской (2011).

Краткие сведения

Двумерной копула-функцией называется отображение C:[0,1]→[0,1], удовлетворяющее следующим условиям (Nelsen, 2006):

1.u,v ϵ [0,1] C(u,0)= C(0,v)=0

2.u,v ϵ [0,1] C(u,1)= u , C(1,v)= v

3. если , , то .

Всякая копула является функцией двумерного распределения, маргинальные распределения которого являются равномерными на отрезке [0,1].

Теорема существования и единственности Склара, которая выражает связь между совместным распределением случайных величин X, Y и копула-функцией:

Пусть H(x, y) = P( X≤x, Y≤y) – функция распределения двумерной случайной величины (X,Y), маргинальные функции распределения которой есть F₁(x)= P(X≤x), F₂(y)= P(Y≤y). Тогда существует такая копула-функция С, что H(x, y)=С(F₁(x), F₂(y)), причем эта функция будет единственной, если функции F₁(x) и F₂ (y) непрерывны.

Обратно, если С(u,v) – копула-функция, F₁(x), F₂(y) – функции распределения, то H(x, y)=С(F₁(x), F₂(y)) является функцией двумерного распределения с маргинальными функциями распределений F₁(x), F₂(y).

Случайные величины являются независимыми тогда и только тогда, когда их копула-функция имеет вид (u,v)=uv.

Случайные величины являются комонотонными, если рост одной всегда сопровождается ростом другой. В этом и только в этом случае копула-функция равна C_max(u,v)=min{u,v}.

Случайные величины X и Y являются контрмонотонными, если X и Y – комонотонны. Тогда копула-функция равна C_min(u,v)=max{u+v-1,0}. [1, с.22]

Описание исходных данных

Для исследования были взяты курсы акций перечисленных ниже компаний, относящихся к различным секторам экономики за 2007-2011 года (брались еженедельные цены закрытия). Из каждого сектора были произвольно выбраны 5 компаний, так же для более детального анализа мы дополнили список зарубежными компаниями, см. табл. 1.

Таблица 1

Список анализируемых компаний

Исследовалась ежегодная динамика суммы отклонений расчетных значений от эталонных копула-функций (комонотонной и контрмонотонной).

Методы исследования

Опишем метод построения построения статистической оценки копула-функции по экспериментальным данным на решетке с шагом 1/N (Nelsen, 2006).

Дано:

- результаты наблюдений, где n – число наблюдений (причем nN);

x_(i), y_(i)- соответствующие порядковые статистики (вариационные ряды);

n(i,j)/n – оценка значения копула-функции , где n(i,j) – число пар выборки , для которых , .

1. Для каждой пары временных рядов курсов акций вычисляются оценки значений копула-функции С (u, v).

2. В качестве эталонной копула-функции поочередно используются , C_max, C_min. В каждом случае из трех отклонений выбирается наименьшее.

3. Вычисляются дискретные приближения .

4. Если наименьшее отклонение соответствует C_min, то считается, что зависимость имеет контрмонотонный характер, C_max – комонотонный, - независимый.

Результаты исследования

Все расчеты для удобства анализа сведены в единую таблицу.

Таблица 2

Отклонения расчетных значений от комонотонной копула-функции

Таблица 3

Отклонения расчетных значений от контрмонотонной копула-функции

Интерпретация полученных результатов

Естественно предположить, что на динамику отклонений статистических оценок копула-функций от эталонных влияют макроэкономические факторы.

Проанализировав результаты экономической деятельности за 2007-2011 гг., мы обнаружили следующее:

• В 2007 году рост российской экономики составил 8 %, этот показатель оказался самым высоким за последние годы. По итогам этого года Россия вошла в 7-ку крупнейших экономик мира, оставив позади Италию и Францию, а также вошла в группу стран с высоким уровнем человеческого развития.

• В 2008 произошёл обвал цен на нефть, очень сильно упал ВВП, сокращается промышленное производство, реальные доходы населения. Также 2008 год характеризуется началом мирового финансового кризиса, который не мог не отразиться на экономике России.

По таблицам 2 и 3 можно заметить, что в этот год акции компаний упрочили контрмонотонную связь.

• 2009 год. По итогам 2009 года падение российской экономики оказалось неадекватно большим (в мае ВВП России снизился на 11 % по отношению к аналогичному месяцу 2008 года). Сформировались предпосылки для перевода кризиса в хроническую затяжную стадию, но первый шок от кризиса уже прошел.

Таблицы 2 и 3 за 2009 год показывают, что контрмонотонная связь между акциями компаний немного ослабла.

• 2010 год. Промышленность прибавила в объемах за год более чем 8%. Это один из лучших результатов за последнее десятилетие. Но, в данном случае, высокий темп роста в достаточной степени был обусловлен наличием низкой базы за 2009 год. Многие отрасли обрабатывающего сектора по-прежнему существенно отстают от объемов производства и продаж докризисного периода, хотя некоторые из них уже превзошли этот уровень. В том числе за счет программы утилизации, высоких показателей во втором полугодии добилось автомобилестроение.

Цена нефти остается одним из основных индикаторов состояния российской экономики. В декабре она вырвалась за пределы $90. Среднегодовая цена нефти увеличилась почти на треть. Примерно настолько же увеличился объем российского экспорта в денежном выражении и доходы федерального бюджета.

Таблицы 2 и 3 показывают, что между акциями компаний резко увеличилась комонотонная связь именно в 2010 году.

• 2011 год. Темп роста промышленного производства в сентябре сократился до минимального значения за весь посткризисный период – 3.9%. Ухудшение динамики наблюдается в нефтепереработке, целлюлозно-бумажной промышленности, в черной металлургии, в химической промышленности и некоторых других отраслях. Практически, на протяжении всего года низкий темп роста демонстрирует добывающий сектор. Из-за снижения спроса на электроэнергию со стороны энергоемких отраслей, практически до нуля сократился темп роста в энергетике.

Таблицы 2 и 3 за 2011 год демонстрируют, что акции компаний вновь упрочили свою контрмонотонную связь.

• Таблицы 2 и 3 для зарубежных компаний иллюстрируют похожую ситуацию – во время экономического подъема связи между акциями компаний одинаковых отраслей усиливают комонотонную зависимость, а во время экономического спада – контрмонотонную. В целом иностранное машиностроение, энергетика и нефтегазовая отрасль имеют схожую динамику с аналогичными отраслями России. Исключением является 2009 год, который выдался для мировой экономики одним из наиболее неблагополучных со времен Великой депрессии 1929 года. Виной тому по-прежнему является кризис мировой экономики, который все еще преобладал в целом ряде ее сегментов.

Выводы

По результатам проведенной работы было замечено, что во время экономического роста акции нефтегазовых и электроэнергетических компаний увеличивают комонотонную связь. Во времена экономического спада наблюдается обратная ситуация – увеличение контрмонотонной связи между акциями нефтегазовых и электроэнергетических компаний.

С сектором машиностроения всё немного сложнее. По таблицам 3 и 4 наблюдается увеличение комонотонной связи акций для следующих пар компаний: ЗМЗ-КАМАЗ, ЗМЗ-ОМЗ, ЗМЗ-УАЗ, ЗМЗ-СОЛЛЕРС - не только в 2010, но и в 2009 году, это можно связать с тем, что именно в этот год шла активная правительственная кампания по обмену старых автомобилей на новые, что не позволило машиностроению упасть вместе с нефтегазовым и электроэнергетическим комплексом. Так же, стоит отметить, что данные отклонения в наблюдениях напрямую связаны с компанией ЗМЗ, жизнеспособность которой в 2009 году обеспечили продажи на вторичном рынке. В этот период времени ЗМЗ принимает решение не выплачивать дивиденды как по обыкновенным, так и по привилегированным акциям, а чистую прибыль направляет на реализацию инвестиционных проектов и НИОКР по перспективной продукции.

Литература:

1. Бронштейн Е.М., Прокудина Е.И., Герасимова А.С., Дубинская К.Г. (2011). Оценка взаимосвязей временных рядов курсов акций с помощью копула-функций. Журнал «Прикладная эконометрика» №2(22).

2. Фантаццини Д. (2011). Моделирование многомерных распределений с использованием копула-функций. Журнал «Прикладная эконометрика» №2(22).

3. Пеникас Г.И. (2011). Модели «копула» в задачах хеджирования ценового риска. Журнал «Прикладная эконометрика» №2(22).

4. Пеникас Г.И. (2010). Модели «копула» в управлении валютным риском банка. Журнал «Прикладная эконометрика» №1(17).

5. Пеникас Г.И. (2010). Модели «копула» в приложении к задачам финансов. Журнал Новой экономической Ассоциации. №7.

6. http://www.finam.ru

7. http://stocks.investfunds.ru/

8. https://www.google.com/finance

9. http://ru.wikipedia.org/

10. http://www.gazeta.ru/