Методы и приемы обучения алгебре

В своей статье мы хотим рассмотреть вопросы о преподавании алгебры в школах. Так как в настоящее время преподавание алгебры нельзя признать удовлетворительным: почти на каждом уроке господствует рутина, и новые течения в педагогике математики слишком мало коснулись школы в области преподавания алгебры на первой ступени. В статье указаны основные методы и приемы преподавания алгебры, такие как: научно-педагогический, наглядно-лабораторный, лекционный и эвристический, а также классные и внеклассные лабораторные и практические занятия.

Ключевые слова: алгебра, математика, математическое мышление, алгебраическое мышление, обучение математике, основная школа, уравнения, алгебраические символы, приемы обучения, методы обучения, эвристический прием.

Цель изучения алгебры не только обстоятельное рассмотрение тех или иных математических фактов, но также умение применять метод математики в областях других наук, кода в этом встречается настоятельная необходимость.

Гораздо более важным, чем изучение самих математических фактов, оказывается ознакомление учеников на уроках математики с наиболее отчетливыми, типичными и простыми приемами мысли. Преследуя формальную цель преподавания алгебры, мы, несомненно, развиваем мышление учащихся. Преследуя цель практическую, мы заставляем их привыкать к толковому и правильному применению приобретенных сведений в практических познаниях.

Одна из целей заключается в выработке сокращенного алгебраического языка. Алгебра расширяет арифметические операции, сохраняя при этом перманентными все формальные законы этих арифметических операций.

Научно-педагогический метод обучения математики. Обсуждая методы и приемы преподавания алгебры непременно следует иметь в виду, что особенное значение в данном случае имеет принцип всестороннего развития индивидуума. Целесообразным методом преподавания может и должен быть признан только такой метод, который ведет ученика к прочному и быстрому усвоению знаний, который ведет его к наиболее основательному и разностороннему развитию его способностей. Метод, обладающий такими характерными особенностями, предполагает, что при преподавании математики, в частности, а алгебры в особенности должны постоянно иметься в виду воспитываемые индивидуумы, степень и ход их развития, а также их жизненные потребности и индивидуальные особенности.

Чем же отличается педагогический метод от научного, и какими характерными особенностями обладает каждый из них? Научный метод является в 2 формах: 1-я форма этого метода есть не что иное как метод исследования или открытия истин еще неизвестных; 2-я его форма — это метод изложения истин, уже добытых первым способом.

Принимая во внимание, что между обеими формами научного метода нет существенного различия, мы должны иметь в виду, что метод открытия и метод изложения имеют некоторое частное различие, которое заключается в том, что всякое открытие новой идеи не совершается систематически, а идет более или менее случайно и скачками, тогда как научное изложение имеет полную возможность систематизировать сообщаемые идеи, имеет возможность сопоставлять их одну с другой и таким образом, выяснять и определять их значение. В этом случае рассматриваемая форма научного метода, метода изложения, и может подойти чрезвычайно близко к чисто педагогическому методу.

Педагогический метод — это метод изложения, а никак не метод открытия или исследования, причем от научного метода изложения он отличается своей элементарностью и наглядностью с внутренней стороны, а также наглядностью и вопросно-ответной формой с внешней стороны. Преподавателю математики, безусловно, необходимо глубоко и основательно знать излагаемую науку и знать психологию учащихся и законы воспитания и усвоения ими тех или иных сообщаемых им математических познаний. В школе уместен лишь тот метод, пользуясь которым, педагог-математик излагает ученикам алгебру безукоризненно с научной точки зрения и в то же время настойчиво добивается безусловного усвоения изложенного материала даже слабыми учениками. Научно-педагогический метод имеет под собою 2 основания, а именно: 1) объективный интерес, то есть интерес излагаемого учебного предмета, и 2) интерес субъективный, то есть интерес учеников, причем оба эти основания, безусловно, следует признавать одинаково важным, вследствие чего оба они должны быть удовлетворяемы при преподавании алгебры непременно в одинаковой мере. Для хорошего научно-педагогического изложения предмета педагогу необходимо основательное знание соответствующей науки, а также не менее необходимо ему правильно понимать и умственный рост детей, необходимо принимать во внимание наиболее характерные эпохи развития ума учеников, необходимо применяться при преподавании к различным индивидуальным особенностям учащихся, то есть, педагогу необходимо знать преподаваемую науку и психологию учащихся.

Неправильный способ передачи ученикам познаний из области того или иного учебного предмета, то есть тот именно способ, который решительно игнорирует субъективную сторону преподавания, настойчиво имея в виду только одну объективную.

Преподавая алгебру, педагог должен непременно считаться с одной стороны с интересами и развитием науки или учебного предмета, а с другой стороны — с развитием отдельной личности. Эти основания побуждают педагога вести обучение по наглядно-лабораторному способу. Так как история развития алгебры возникла не в виде отвлеченных положений и формул, а начавшейся именно собиранием и связыванием между собою отдельных наглядных фактов.

При наглядном методе преподавания преподавателю необходимо разложить содержание излагаемой науки или учебного предмета на ряд простейших элементов, а потом, начав обучения непременно с этих элементов, нужно последовательно вести учеников к рассмотрению сочетания избранных элементов в более или менее сложные образования. Наглядный метод обучения должен быть основан на 2 основаниях, то есть на внешней наглядности и так называемой элементарности, и только тогда, когда наглядность и элементарность правильно и прочно соединятся между собой, он образует наглядный метод обучения.

Наглядное обучение, безусловно, считается с типами представления, давая возможность каждому индивидууму строить представления из всякого рода чувственного материала. Всякое обучение должно побуждать человека к самопроизвольной деятельности.

Метод преподавания математических наук по существу своему — аналитический метод. Переход к отвлеченной или абстрактной математике должен совершаться естественным путем, то есть должен исходить от конкретной математики, вследствие чего изучение геометрии должно предшествовать также изучению на уроках алгебры, но должно предшествовать также изучению на уроках арифметики и теории делителей, должно непременно предшествовать изучению дробей и пропорций. Такие в общих чертах экспериментальные и педагогические соображения по вопросу о наглядном методе обучения.

Все новые восприятия и представления, доставляемые обучением, должны переходить в деятельность. Главной ошибкой существующих учебных ланов и применяемых методов обучения является отсутствие тесного общения, взаимодействия и взаимопонимания между преподаванием вещественным, основанным на наблюдении и преподаванием изобразительным или формальным преподаванием, основанным на действии.

Самым ценным, что мы можем дать ученику, оказывается совсем не знание, а только правильный метод приобретения знаний и самостоятельный способ действия.

Рассмотрим наглядно-лабораторный метод в общих чертах. Постараемся определить, в чем же заключается главная сущность этого метода на уроках математики? Необходимо строго наблюдать, чтобы главная часть алгебраической работы выполнялась в классе, всеми учениками одновременно и притом под непосредственным опытным руководством учителя. Изучать алгебраические вопросы в различных фазах их развития, и изучать графически и экспериментально, но обязательно на конкретных задачах или примерах.

Наглядным может быть и отвлеченное преподавание. Целые числа сначала, пока они не пояснены на конкретных примерах, не имеют смысла. Когда ими ученик овладел, они приобретают конкретность, и ими можно пользоваться для того, чтобы привести ученика к новым отвлечениям. В одних случаях экспериментирование с какими-либо предметами, изучение тех или других областей естественных наук дает возможность подойти к значительной части математики интересным путем, в других случаях начало конкретному изучению может быть с таким же успехом положено, если мы будем отправляться от тех или других идей, понятий, от предварительно выполнимых отвлечений, не прибегая при этом к работе над вещественными объектами в какой бы то ни было форме.

Лекционный и эвристический приемы обучения алгебре. Форма научно-педагогического метода может быть рассматриваема с двух сторон, а именно с внутренне и внешней стороны. Обратим сначала внимание на внешнюю сторону этого метода, причем в этом случае приходится отметить, что научному методу свойственна непрерывность, а педагогическому методу свойственен вопросно-ответный характер. Первая форма изложения учебного материала называется акроаматической, а сам прием ведения уроков носит название лекционного приема. Вторая форма изложения учебного материала называется эротематической, и сам прием ведения уроков называется эвристическим приемом. Пользуясь лекционным приемом, учитель преподносит ученикам тот или другой вопрос из данного учебного предмета в форме связного рассказа, то есть излагает избранную тему урока логично, не прерывая свой рассказ вопросами. Ученики в это время только слушают и следят за мыслью преподавателя, делая для себя заметки, которые после урока пополняют и, если нужно, заучивают. От учеников на таком уроке требуется умение следить за логическим развитием сообщаемых учителем сложных мыслей. Нельзя утверждать, что этот прием будет наилучшим даже при преподавании математики в старших классах. Эротематическая форма изложения учебного материала носит совершенно другой характер, так как ей свойственны постоянные вопросы со стороны учителя и ответы со стороны учеников. Пользуясь эвристическим приемом сообщения ученикам знаний, учитель решительно избегает прямого сообщения сведений, а ограничивается руководством в работе учеников при помощи вопросов и задач.

Эвристический прием сообщения ученикам знаний обладает в значительной степени характером активности, почему ему и должно принадлежать господствующее место на уроках алгебры в школе в сравнении с лекционным приемом.

Говоря об особенностях эвристического приема, следует отметить полное отсутствие в этом приеме механичности благодаря тому, что этот прием воплощается на уроке чрезвычайно разнообразно. Эвристический прием, будучи применяем на уроках алгебры, дает учителю возможность повторить с учениками на каждом уроке значительное количество пройденного учебного материала, вследствие чего иногда при сравнительно небольшой затрате времени ученики усваивают учебный материал несравненно лучше, чем в том случае, если бы учитель передавал им математические знания в акроаматической форме. Вся алгебра, изучаемая в средней школе, как и весь математический анализ, опирается, несомненно, на арифметику, так что на высшей ступени своего развития последняя совершенно сливается в одно целое с высшими отделами теории чисел. Таким образом, арифметика дает числовой материал, который пользуется алгебра и даже высший математический анализ.

Допустим, что основной целью какого-либо урока алгебры является не сообщение ученикам тех или иных алгебраических сведений в вопросно-ответной форме, а главной целью урока является раскрытие доказательств той или иной истины. Тогда в этом случае эвристический прием имеет огромные преимущества перед лекционным.

Вопросно-ответная форма обучения обращается непосредственно к уму учащихся, пробуждает их внимание, изгоняет из школы бессмысленность и мертвенность, — словом эвристический прием обучения влагает в работу учителя и учеников на том или ином уроке живую свежую струю. На каждом уроке алгебры, проведенном по эвристическому приему, возникает нужда в собирании отдельных ответов учащихся в одно связное логическое целое, для чего на каждом уроке приходится прибегать и к акроаматической форме изложения учебного материала, в противном случае раздробляющая и анализирующая сила вопросов представит нам знание, сообщенное на уроке, в виде разрозненных кусочком.

Такие в общих чертах внешние особенности научного и педагогического методов изложения. Что же касается внутренней стороны этих методов.

Переходя к рассмотрению внутренней стороны эвристического приема, нужно отметить, прежде всего, то обстоятельство, что эвристический прием обучения имеет самую тесную связь с индивидуальным приемом, если понимать последнее как прием, имеющий главной своей целью расположить классную работу. Чтобы каждый отдельны ученик, отвечая на вопросы учителя и выполняя предлагаемые им посильные задачи, развивался и шел вперед в соответствии со своими индивидуальными способностями. Успехи учеников на уроке алгебры мыслимы лишь при том непременном условии, когда ученики вполне понимают то, что им предлагается на данном уроке, причем все непонятное не только приостанавливает дальнейшее движение учеников вперед, но даже делает и нечто большее и, безусловно, вредное, а именно затемняет то, что так или иначе было усвоено учениками. Урок такого рода будет не только бесцельным уроком, но даже и вредным.

Индивидуальность каждого ученика учитель должен принимать во внимание особенно на уроках математики. Учитель ведет обыкновенно свое преподавание в расчете на такого ученика, который даже при сравнительно слабых способностях желает работать, готов к работе и стремится вынести из урока возможно больше пользы. В то же самое время и другие ученики, причисляемые по типу способностей к средним и сильным, у умелого учителя никогда не остаются без дела, потому что опытный учитель, не разбивая общую классную работу на ряд работ отдельных групп или отдельных учеников, старается занять всех детей посильной для каждого работой.

Классные и внеклассные лабораторные и практические занятия учеников по алгебре. Вопрос об организации практических занятий учеников по алгебре имеет, несомненно, громадное значение, потому что эти занятия дают учащимся хотя бы некоторую возможность устранить то вредное начало в преподавании, которое совершенно игнорирует индивидуальные запросы учеников и стирает личность каждого из них, стремясь приспособить ее к среднему уровню класса, вследствие чего, многие иногда весьма даровитые ученики не имеют возможности свободно проявить свое творческое отношение к изучаемому предмету, не имеют также никакой возможности построить и свое собственное миропонимание, не имеют возможности выработать свое мироотношение.

Продолжительность нашего урока, текущего 40–45 минут, в которые искусственно втиснута та или иная тема урока, не дает учащемуся возможности проявить свое увлечение учебным предметом, потому что установленный звонок прекращает работу как раз в тот момент, когда нередко только что наступает разгар творческого порыва со стороны учеников. Во-вторых, учитель, вынужденный просматривать громадное количество контрольных письменных работ, а также обязанный прослушивать и исправлять ряд неудачных по существу и форме ответов учеников, не имеет часто никакой возможности поставить классную работу на разумных началах.

В настоящее время можно уже считать совершенно доказанным, что практические занятия учеников в области математики по наглядно-лабораторному методу оказывают огромное образовательное значение, потому что эти занятия при правильной их постановке, служат целям закрепления преподаваемого учебного предмета, причем подобные работы, развивая в учащихся соревнование, могут способствовать также выработке самостоятельности и уверенности в работе. Помимо образовательного значения, рассматриваемые работы имеют громадное воспитательное значение, потому что за этими работами совершенно незаметно организуются научные кружки, устанавливаются самые близкие отношения учеников с преподавателем и между собой. Происходит это потому, что здесь учитель может проявлять себя свободнее и оригинальнее, чем в обычных условиях классных занятий, в силу чего он и становится чрезвычайно близко к ученикам.

Практические работы по математике, безусловно, желательны во всех отношениях, причем о практических работах по алгебре нужно сказать, что учитель, имея в виду, что ученики должны упражняться и в вычислениях «заменою букв числами и нахождением числовых записей формул», показывает ученикам возможное применение функциональной зависимости, не давая её определений.

1. Граве, Д. А. О преподавании элементарной алгебры / Д. А. Граве. — Пг.: изд-во К. Л. Риккера, 1915. — 27 с.
2. Гусев, В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике / В. А. Гусев. — М.: Вербум-М: Изд. Центр «Академия», 2003. — 432 с.
3. Ермаков, В. П. О начальном преподавании алгебры / В. П. Ермаков // Вестник опытной физики и элементарной математики. — [Киев]: типо-литогр. тов-ва И. Н. Кушнерев и , 1890. — Вып. № 102. — С. 2–8.
4. Лексин, Н. Г. Методика алгебры / Н. Г. Лексин. — Казань, 1916. — 346 с.
5. Нечаев, Н. В. О начальном преподавании алгебры / Н. В. Нечаев. — СПб.: Типогр. М. М.: Стасюлевича, 1892. — 32 с.
6. Розенберг, В. Л. Простейший переход от арифметики к алгебре / В. Л. Розенберг. — СПб., 1914. — 35 с.