Бірінші ретті айырымдық теңдеулер шешімін спектралдық теория көмегімен зерттеу



Мақалада спектралдық теория көмегімен бірінші ретті айырымдық теңдеулер шешімдерінің құрылымы зерттеледі.

Кілтті сөздер: айырымдық теңдеулер, операторлардың спектралдық теориясы.

В статье изучается структура решений разностных уравнений первого порядка с помощью спектральной теории.

Ключевые слова: разностные уравнения, спектральная теория операторов.

— ақырлы өлшемді нормаланған сызықтық кеңістік болсын.

– -та анықталған сызықтық операторлардың банах алгебрасы.

— мәндері -те болатын, - де анықталған бірқалыпты үзіліссіз әрі шенелген функциялардың банах кеңістігі.

— (шексіздікте жойылады) шартын қанағаттандыратын функцияларының тұйық ішкі кеңістігі.

Анықтама-1. функциясын ( ішкі кеңістігіне қатысты) периоды болатын, шексіздікте периодты функция деп атаймыз, егер

болса.

Мұндай функциялардың жиынын деп белгілейміз.

банах кеңістігінде келесі түрдегі изометриялық операторлардың үзіліссіз тобын қарастырамыз:

.

Келесі түрдегі айырымдық операторды қарастырайық:

, (1)

мұндағы және .

Теорема-1. сызықтық операторының спектрі келесі шартты қанағаттандыратын болсын: 1 саны операторының спектрінің бірлік шеңберіндегі жалғыз нүктесі болады. Онда, егер (1) теңдеуінің шенелген, бірқалыпты үзіліссіз x ₀ шешімі бар болса, онда ол периоды 1 болатын шексіздікте периодты функция болады. Яғни .

Теореманы дәлелдеу үшін келесі екі лемманы дәлелдейік. Келесі теңдеуді қарастырайық:

, (2)

Мұндағы операторы келесі шарттардың бірін қанағаттандырсын:

1)

2)

мұндағы екінші шартта

операторы қайтымды және мен сәйкес және операторларының спектральдық радиустарын білдіреді.

Лемма- 1 . операторы 1) шартын қанағаттандыратын болсын. Онда (2) теңдеуінің кез келген бірқалыпты үзіліссіз және шенелген шешімі кеңістігінде жатады және жалғыз болады, бұл шешім келесі түрде анықталады:

,

Дәлелдеуі:

мұндағы .

— қайтымды изометрия, демек . Сондықтан операторы үзіліссіз қайтымды болады және және кері операторы келесі түрде анықталады:

,

Демек,

мұндағы және .

Лемма-2. операторы 2) шартын қанағаттандыратын болсын. Онда (2) теңдеуінің кез келген бірқалыпты үзіліссіз және шенелген шешімі кеңістігінде жатады және жалғыз болады, бұл шешім келесі түрде анықталады:

,

Дәлелдеуі:

мұндағы .

— қайтымды изометрия, демек . Сондықтан операторы үзіліссіз қайтымды болады және және кері операторы келесі түрде анықталады:

,

Демек,

мұндағы және .

Әдебиет:

1. Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов — Воронеж: ВГУ, 1987.

2. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория — М: ИЛ, 1962.