В статье изучается структура решений разностных уравнений первого порядка с помощью спектральной теории.
Ключевые слова:
разностные уравнения, спектральная теория операторов.
— ақырлы өлшемді нормаланған сызықтық кеңістік болсын.
–
-та анықталған сызықтық операторлардың банах алгебрасы.
— мәндері
-те болатын,
- де анықталған бірқалыпты үзіліссіз әрі шенелген функциялардың банах кеңістігі.
—
(шексіздікте жойылады) шартын қанағаттандыратын
функцияларының тұйық ішкі кеңістігі.
Анықтама-1.
функциясын (
ішкі кеңістігіне қатысты) периоды
болатын, шексіздікте периодты функция деп атаймыз, егер
болса.
Мұндай функциялардың жиынын
деп белгілейміз.
банах кеңістігінде келесі түрдегі изометриялық операторлардың үзіліссіз тобын қарастырамыз:
.
Келесі түрдегі айырымдық операторды қарастырайық:
,
(1)
мұндағы
және
.
Теорема-1.
сызықтық операторының спектрі келесі шартты қанағаттандыратын болсын: 1 саны
операторының спектрінің
бірлік шеңберіндегі жалғыз нүктесі болады. Онда, егер (1) теңдеуінің шенелген, бірқалыпты үзіліссіз
x
0
шешімі бар болса, онда ол периоды 1 болатын шексіздікте периодты функция болады. Яғни
.
Теореманы дәлелдеу үшін келесі екі лемманы дәлелдейік. Келесі теңдеуді қарастырайық:
,
(2)
Мұндағы
операторы келесі шарттардың бірін қанағаттандырсын:
1)
2)
мұндағы екінші шартта
операторы қайтымды және
мен
сәйкес
және
операторларының спектральдық радиустарын білдіреді.
Лемма-
1
.
операторы 1) шартын қанағаттандыратын болсын. Онда (2) теңдеуінің кез келген бірқалыпты үзіліссіз және шенелген
шешімі
кеңістігінде жатады және жалғыз болады, бұл шешім келесі түрде анықталады:
,
Дәлелдеуі:
мұндағы
.
— қайтымды изометрия, демек
. Сондықтан
операторы үзіліссіз қайтымды болады және және кері операторы келесі түрде анықталады:
,
Демек,
мұндағы
және
.
Лемма-2.
операторы 2) шартын қанағаттандыратын болсын. Онда (2) теңдеуінің кез келген бірқалыпты үзіліссіз және шенелген
шешімі
кеңістігінде жатады және жалғыз болады, бұл шешім келесі түрде анықталады:
,
Дәлелдеуі:
мұндағы
.
— қайтымды изометрия, демек
. Сондықтан
операторы үзіліссіз қайтымды болады және және кері операторы келесі түрде анықталады:
,
Демек,
мұндағы
және
.
Әдебиет:
1. Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов — Воронеж: ВГУ, 1987.
2. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория — М: ИЛ, 1962.
Основные термины(генерируются автоматически): оператор.
Ключевые слова
айырымдық теңдеулер,
операторлардың спектралдық теориясы
айырымдық теңдеулер, операторлардың спектралдық теориясы