Некоторый куб в поле p-адических чисел



В работе рассматривается некоторый квадрат и куб в поле р-адических чисел.

Ключевые слова : поле рациональных чисел, р-адическая норма, поле р-адических чисел.

1. Введение. Внастоящее время различные структуры изучаются над полем p-адических чисел. Теория p -адических чисел является одним из самых популярных и бурно развивающихся направлений современной математики. На данный момент известны p -адическая математическая физика, p -адическая теория вероятностей, p -адические дифференциальные уравнения, p -адические динамические системы и др. p -адические числа впервые были введены в конце XIX века в работе немецкого математика К. Гензеля.

Поле р-адических чисел не является алгебраическим замкнутым. Поэтому в работе Владимиров В.С, Волович И. Б. и Зеленов Е. И. дано критерия разрешимости р -адического квадратного уравнения [1, c-28].

Напомним определение поля р -адических чисел.

Пусть — поле рациональных чисел и — фиксированное простое число. Каждое рациональное число представим в виде

,

где m , n , , и не делиться на . В поле рациональных чисел введем норму по правилам

и .

Норма

называется - адической нормой . Пополнения поля по -адической норме образует поле -адической чисел, которое обозначим через . Известно, что любое -адическое число однозначно представляется в каноническом виде

,

где

и — целые числа такие, что . -адические числа , для которых , называются целыми -адическими числами, и их множество обозначается . Целые числа , для которых , называются единицами в

.

В работе [1] дано критерия разрешимости квадратных уравнений.

Теорема 1 [1]. Для того чтобы уравнение

имело решение , необходимо и достаточно выполнение условий:

1) — четное число,

2) является квадратичном вычетом по модулю , если , если .

Напомним, что число называется вычетом степени 3 по модулю , если уравнение имеет решение ; в противном случае называется невычетом степени 3 по модулю

.

В работе [2] приведено критерия разрешимости уравнения в поле -адических чисел.

Теорема 2 [2]. Пусть -простое число, . Для того чтобы уравнение

,

,

, ,

имело решение х  , необходимо и достаточно выполнение условий:

3)(a) — кратное на 3,

4)а0 является кубическим вычетом по модулю р, если ; или если р = 3.

Замечание 1 [2]. Условие 2 теоремы 1 при p=2 всегда выполняется, следовательно, уравнение

имеет решение в для любого а и (a) — кратного 3.

Основными результатами являются следующие утверждения.

Предложение 1. Выражение существует в поле 11 -адических чисел.

Доказательство . Первый шаг докажем, что . Для этого мы рассмотрим квадратный уравнение . Сначала разложим число 3 в . Тогда

.

Первое условия теоремы 1 выполняется. Вторая условия теоремы 1 также выполняется, так как сравнение

имеют решение и . Поэтому .

Второй шаг нам надо разрешимо ли

в поле 11-адических чисел. Сначала разложим число в :

,

где . Тогда

.

Первое условия теоремы 1 выполняется, а выполнение второй условий теоремы 1 проверяется разрешимости сравнение . Этот сравнение имеет решение

и . Предложение доказано.

Предложение 2. Выражение существует в поле 5 -адических чисел.

Доказательство . Используя условия теоремы 2, доказывается аналогичным образом как предложение 1.

Литература:

1. Vladimirov V. S., Volovic I. B., Zelenov E.I, p-adic Analysis and Mathematical Physics. // World Scientific. Singapore. — 1994. — P. 352.
2. Масутова К. К., Классификация шестимерных филиформных p -адических алгебр Лейбница. УзМЖ, 2011, № 4, С 115–124.