Теорема о полярном разложении для вещественных AW*-алгебр



Решения проблем, возникающих в результате научно-прикладных исследований области точных наук, часто сводятся к исследованию физических (динамических) систем и задач квантовой механики, теория которых тесно связана с теорией операторных алгебр. Согласно этой связи, наблюдаемой данной физической системе соответствует линейный самосопряженный оператор, действующий в некотором гильбертовом пространстве , а всякому состоянию рассматриваемой динамической системы соответствует матрица плотности, действующая в . Поскольку операторные алгебры, в частности (вещественные и комплексные) С*, W*-алгебры, являются именно такими математическими моделями квантовой механики и динамических систем, то каждый результат, полученный в этом направлении, имеет свою интерпретацию и применение в квантовой механике. AW*-алгебры являются обобщением W*-алгебр, естественно возникает вопрос об обобщении и расширении результатов, полученных для W*-алгебр к AW*-алгебрам. В статье обобщается результат Э. Штермера [1, с.146] о полярном разложении элементов для вещественных AW*-алгебр.

Ключевые слова: гильбертово пространство, AW*-факторы,*-Бэрова алгебра, полярное разложение.

Вещественные -алгебры. Пусть — комплексное гильбертово пространство, — алгебра всех ограниченных линейных операторов на . Слабая (операторная) топология на — это локально выпуклая топология, порожденная полунормами вида:

. -алгебра — это слабо замкнутая комплексная * — алгебра операторов в гильбертовом пространстве H, содержащая тождественный оператор . Напомним, что -алгебры также называют алгебрами фон Неймана. Пусть далее -алгебра. Множество всех элементов из , коммутирующих с каждым элементом из , называется коммутантом алгебры . Центром -алгебры

называется множество элементов из , коммутирующих с каждым элементом из . Легко видеть, что . Элементы называются центральными элементами. -алгебра называется фактором, если состоит из комплексных кратных , т. е. если

Пусть

проекторы из . Мы говорим, что эквивалентно , и пишем , если для некоторой частичной изометрии из . Проектор называется: конечным , если , имеется ввиду ; бесконечным — иначе; чисто бесконечным , если

не имеет ненулевого конечного подпроектора; абелевым , если алгебра является абелевой -алгеброй. - алгебра называется конечной, бесконечной, чисто бесконечной , если — конечная, бесконечная, чисто бесконечная соответственно; является - конечной , если любое семейство попарно ортогональных проекторов из не более чем счетно; полуконечной , если каждый проектор в содержит ненулевой конечный подпроектор; собственно бесконечной , если каждый ненулевой проектор из бесконечен; дискретной, или типа , если она содержит точный абелев проектор (т. е. абелев проектор с центральной поддержкой

); непрерывной , если в нет абелевого проектора, кроме нулевого; относится к типу , если M полуконечна и непрерывна; типа (соответственно ) если имеет тип и конечный (соответственно собственно бесконечный); тип (соответственно тип ), если M относится к типу и конечное (соответственно собственно бесконечное); тип

, если чисто бесконечно. Известно, что любая -алгебра имеет единственное разложение по своему центру в прямую сумму -алгебр типов , , , и . Под вещественной -алгеброй понимается вещественная банахова *-алгебра R такая, что имеет место соотношение и элемент

обратим для любого . Вещественная -алгебра такая, что является комплексной -алгеброй, называется вещественной -алгеброй. Это эквивалентно тому, что алгебра слабо замкнута и , [4, с.353]. Пусть — вещественная или комплексная *-алгебра и пусть S — непустое подмножество

. Положим и назовем правым аннулятором . Аналогично обозначает левый аннулятор .

Определение . * — алгебра называется * — Бэровой алгеброй, если для любого непустого для некоторого проектора . Поскольку , определение симметрично и может быть дано в терминах левого аннулятора и некоторого проектора

. Здесь [3, с.22]

Определение . Вещественная (комплексная) -алгебра (алгебра ), являющаяся Бэровской *-алгеброй, называется вещественной (соответственно комплексной) -алгеброй. Всякая -алгебра, конечно, является — алгеброй, однако обратное неверно (более подробно см. [2, с.83]).

Теорема 1. Предположим, что AW*-алгебра не имеет части типа

. Тогда существует вещественная *-подалгебра вещественной AW*-алгебры содержащая , изоморфная

Доказательство. Известно, что существуют два ортогональных проектора и в такие что и симметрия такая, что . Положим

. Тогда и удовлетворяет условию

.

Таким образом, образуют полную систему матричных единиц для подфактора типа алгебры такой, что порождаемая ими вещественная подалгебра содержится в и изоморфна .

Теорема 2. Пусть — вещественная алгебра, такая, что является AW*-алгеброй с точным нормальным полуконечным следом . Пусть и проекторы в . Тогда

1) если для всех центральных проекторов , то существует такая симметрия

, что

2) если существует частичная изометрия такая, что , и существует проектор , где и , то существует такая симметрия, .

Доказательство: аналогично теоремы сравнения для JW-алгебр, можно показать, что существуют центральный проектор

симметрия такие, что

, .

Так как след является точным, то из следует, что . Аналогично из

Отсюда получим

что и доказывает (1). Если — частичная изометрия в такая, что и , то для всех центральных проекторов в

. Одинаковые тождества выполняются и для и . Тогда по (1) существует симметрия , такая, что t= так как и след — точный. Действительно, так как из этого

Получаем . Предложение доказано.

Теперь докажем основной результат работы: теорема о полярном разложении элементов вещественных AW*-алгебр.

Теорема 3. Пусть — вещественная алгебра и — полярное разложение , где

— частичная изометрия на с начальным и конечным пространствами и , соответственно. Тогда

Доказательство. Так как и — С*-алгебра, то существуют , и . Поскольку

, то имеем , т. е. . Так как для , и элемент u является изометрией, то для носителя имеем . Однако поэтому получим . Таким образом, и . Теорема доказана.

Литература:

1. E.Stormer Real structure in the hyperfinite factor Vol. 47, No.1 Duke mathematical journal (C) March 1980 145–153
2. Ayupov Sh.A., Rakhimov A. A. Real W*-algebras, Actions of groups and Index theory for real factors. VDM Publishing House Ltd. Beau-Bassin, Germany, Bonn. ISBN 978–3–639–29066–0. 2010, p.138
3. S. K. Berberian. Baer *-rings. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg N. Y. 1972
4. Erling Størmer 1967 On anti-automorphisms of von Neumann algebras. Pacific J. Math. 21(2): 349–370(1967).