Нелинейные вполне непрерывные операторы и их аппроксимации



В статье рассматриваем теорему о непрерывных изображениях, также рассматривается лемма о непрерывных операторах и получены к ним доказательства. Дано определение нелинейному оператору.

Ключевые слова: банаховы пространства, непрерывный оператор, компактность.

До сравнительно недавнего времени теория нелинейных уравнений представляла собой набор разрозненных результатов, касающихся отдельных задач. Однако за последние годы были достигнуты большие успехи, и сейчас в нашем распоряжении имеются довольно общие результаты о нескольких широких классах уравнений. Важную роль в этом процессе сыграл функциональный анализ. Пожалуй, именно здесь вклад функционально-аналитических методов в приложения оказался наиболее ценным. При изучении линейных операторов в банаховых пространствах большую помощь при отыскании путей исследования оказывают весьма содержательные общие принципы, известные для конечномерного случая. Почти все трудности связаны здесь исключительно с переходом от конечного числа измерений к бесконечному и потому носят, по существу, аналитический характер. В случае нелинейных операторов тоже естественно обратиться сначала к конечномерным аналогиям. Однако конечномерные нелинейные задачи часто и сами очень сложны. Изучением таких задач активно занимаются и в настоящее время, причём многие из основных результатов в этой области получены лишь недавно; стандартное руководство по конечномерным нелинейным задачам — книга Ортеги и Рейнболдта. Теорию нелинейных операторов в конечномерном случае можно классифицировать как геометрическую теорию, ибо в ней исследуют «форму» функций. Поэтому можно сказать, что теория нелинейных операторов в банаховых пространствах состоит из геометрической и аналитической частей и что геометрическая часть играет более заметную роль, чем в линейной теории.

Определение 1. Нелинейный оператор — это отображение А, пространство векторное пространство над общим полем скаляров, не обладающее свойством линейности, т. е. такое, что

Теорема 1. Пусть и

— это банаховы пространства и — это ограниченное множество. Пусть, кроме этого,

Это некоторое изображение. Тогда следующие два условия эквиваленты:

1) — это вполне непрерывное изображение;

2) Для каждого найдется такое ограниченное и непрерывное отображение

,

Что принадлежит замыканию выпуклой оболочки множества в и

)<

и

Доказательство 1. В силу ограниченности множество предкомпактно в . Следовательно, для каждого найдутся такие точки

При что

Где

Введем следующие функции

И рассмотрим следующую функцию

При

и для всех . Теперь можем ввести отображение следующим образом:

для всех .

Ограниченность этого отображения для каждого фиксированного ε > 0 очевидна. Докажем непрерывность. По своему построению

= ( ) при

непрерывна по совокупности вещественных переменных , функция непрерывна для всех Наконец, по условию леммы оператор F непрерывен на . Следовательно, по теореме о композиции непрерывных отображений оператор непрерывен. Наконец, — это конечномерный оператор, поскольку

span ,

— компактно в и имеют месту неравенству

Пусть

при всех

и для всех

С одной стороны, имеет своим равномерным пределом отображение F, которое в силу непрерывности и ограниченности операторов также является непрерывным и ограниченным.

Действительно, для любого ε > 0 в силу непрерывности отображения найдется такое , что для всех

имеет место неравенство

Таким образом, приходим к неравенству

С другой стороны, имеет место следующее неравенство:

но множество предкомпактно, поэтому приходим к выводу, что предкомпактно в . Следовательно, отображение

вполне непрерывно [1–4].

Пока рассмотрели связь полной непрерывности и вполне непрерывности линейных операторов. Однако, есть некоторые результаты и для нелинейных операторов. Справедлива следующая лемма [1–8].

Лемма 1. Пусть

это полностью непрерывный оператор. Тогда при условии рефлексивности банахова пространства B1 оператор K является вполне непрерывным.

Доказательство 2. Пусть

Но тогда, очевидно,

Отсюда в силу полной непрерывности оператора K приходим к выводу, что

Тем самым, непрерывность оператора доказана. Докажем теперь компактность оператора .

Действительно, пусть — это некоторое ограниченное множество. Пусть . Тогда в силу рефлексивности из этой последовательности можно выбрать некоторую под последовательность

такую, что

Поэтому в силу полной непрерывности оператора K приходим к выводу, что

Теорема 2. Пусть — это вполне непрерывный оператор, тогда он является полностью непрерывным.

Доказательство 3. Пусть

тогда эта последовательность ограничена в . Тогда в силу компактности L из последовательности можно извлечь подпоследовательность такую, что

сильно в при Рассмотрим транспонированный к L оператор

.

Поскольку

, т. е. является линейным и непрерывным, то

и ( ) причем по определению транспонированного оператора справедливо следующее равенство:

для всех . Докажем, что

Действительно, имеет место следующее выражение:

Поскольку

Таким образом, приходим к выводу, что

Докажем теперь, что на самом деле

По доказанному,

значит,

.

Следовательно, приходим к равенству

Теперь предположим, что найдется такая под последовательность

что имеет место неравенство

С другой стороны, по доказанному, у этой под последовательности

найдется такая под последовательность

такая, что

Справедлива цепочка неравенств

Выберем теперь l ∈ N настолько большим, чтобы имело место неравенство

С другой стороны, для каждого найдется такое , что

и тогда

и приходим к неравенству

.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Литература:

1. Забрейко П. П. Идеальные пространства функций. — Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений // Вестник Ярославского университета. Вып. 8. Ярославль, 1974. С. 12–52.
2. Ахмеров Р. Р., Каменский М. И., Потапов А. С. и др. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. — Новосибирск: Наука, 1986.
3. Yerzakova N. A. On Measures of Non-Compactness in Regular Spaces// Zeitschrift főr Analysis und ihre Anwendendungen. 1996.V. 15. № 2, р. 299–307.
4. Ерзакова Н. А. Компактность по мере и мера некомпактности // Сиб. Мат.Ж. 1997. Т. 38, № 5. С. 1071- 1073.
5. Ерзакова Н. А. Нелинейное уравнение и весовое неравенство // Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений: Труды конференции ВГУ, 2003. С. 77–81.
6. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. — М.: Наука, 1975.
7. Красносельский М. А., Забрейко П. П. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. — М.: Наука, 1966.
8. Kalton N. J., Verbitsky I. E. Nonlinear equations and weighted norm inequalities// Trans. Amer. Math. Soc. 1999. V. 351. № 9, р. 3441–3497.