В данной статье рассматриваются особенности развития математического анализа и его роль в современной науке. Проведен перекрестный и сравнительный анализ влияния технологий и факторов роста в образовании на развитие математического анализа.
Ключевые слова: анализ, метод, математика, наука.
Математический анализ продолжает развитие исчисления и теории вещественных и комплексных функций. Это захватывающая, динамичная область огромной глубины и разнообразия с широким спектром приложений как в чистой, так и в прикладной математике, а также в физике, биологии, химии и технике.
Дифференциальные уравнения и приложения
Уравнения Пенлеве
В конце XIX и начале XX века Пенлеве и его сотрудники провели классификацию обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка, решения которых однозначны в окрестности всех подвижных особенностей, т. е. не имеют подвижных критических точек.
В процессе Пенлеве и др. открыли шесть новых нелинейных ОДУ, общее решение которых определяет новые трансцендентные функции, поскольку они не могут быть выражены в терминах ранее известных функций, таких как элементарные и эллиптические функции, и/или в терминах решений линейных ОДУ, и их можно рассматривать как нелинейные аналоги классических специальных функций.
Во второй половине XX века уравнения Пенлеве, хотя и открытые из математических соображений, нашли применение в широком диапазоне областей, начиная от случайных матриц и квантовой гравитации и заканчивая критическими явлениями в распространении волн. Текущие исследования в основном связаны со специальными решениями уравнений Пенлеве (рациональными решениями и решениями, заданными в терминах линейных специальных функций), а также связями с ортогональными полиномами и теорией случайных матриц. Другие исследования включают дискретные уравнения Пенлеви, которые возникают из тех же контекстов, а также из нелинейных формул суперпозиции (преобразования Беклунда) для ОДУ Пенлеви.
Геометрический и нелинейный функциональный анализ
Геометрический и нелинейный функциональный анализ находится на пересечении функционального анализа, топологии и геометрии и является важной и обширной областью математического анализа. Исследования в этой области сосредоточены на захватывающих взаимодействиях между алгебраической и геометрической топологией, динамикой и теорией бифуркаций. Кроме того, исследуются геометрически мотивированные нелинейные дифференциальные уравнения и связи между метрической геометрией и операторными алгебрами. Подробнее о наших исследованиях в этой области можно узнать ниже.
Жордановые алгебры и метрическая геометрия
Концепция йордановой алгебры имеет богатую историю в математике. Первоначально он был введен П. Джорданом, Дж. Фон Нейманом и Э. Вигнером в 1930-х годах как алгебраическая модель для квантовой механики, но вскоре были обнаружены неожиданные связи с теорией Ли, геометрией и гармоническим анализом. Прекрасная связь между формально вещественными йордановыми алгебрами и геометрией конусов была обнаружена М. Кехером и Э. Винбергом. Они показали, что конусы квадратов бесконечномерных формально вещественных йордановых алгебр являются в точности симметричными конусами, т. е. самодуальными конусами, на которых группа линейных автоморфизмов действует транзитивно внутри. Характеристика Кехера-Винберга обеспечивает поразительную связь с теорией римановых симметричных пространств.
В бесконечных измерениях такой характеристики реальных йордановых алгебр не существует, поскольку большинство реальных йордановых алгебр реализуются как банаховы пространства, а не гильбертовы пространства. Однако недавние открытия показывают, что существуют альтернативные характеристики реальных йордановых алгебр в терминах геометрии их конусов квадратов. Исследования в этой области сосредоточены на дальнейшем раскрытии связей между реальными йордановыми алгебрами и геометрией и переплетают идеи анализа, йордановых алгебр и метрической геометрии.
Динамика нерасширяющих отображений
Нерасширяющие отображения — это липшицевы отображения с постоянной единицей. Возможно, помимо изометрий, они являются наиболее фундаментальными отображениями метрических пространств. Центральная проблема состоит в том, чтобы понять неподвижные точки и итеративное поведение неэкспансивных отображений. В случае, если отображение является липшицевым сжатием на полном метрическом пространстве, теорема Банаха о сжимающем отображении дает решение. Если, однако, просто предположить, что отображение не является расширяющим, гораздо труднее решить, имеет ли оно фиксированную точку, и итеративное поведение может быть сложным.
В последние десятилетия в этой области было сделано несколько удивительных открытий. Среди других результатов было показано, что всякая ограниченная орбита нерастягивающего отображения на конечномерном нормированном пространстве с многогранным единичным шаром сходится к периодической орбите и, кроме того, существуют априорные верхние границы возможных длин периодов. Кроме того, интересные аналоги классической теоремы Данжуа-Вольфа о динамике голоморфных отображений открытого единичного круга без неподвижных точек в себя были получены для свободных от неподвижных точек нерастягивающих отображений на метрических пространствах, обладающих свойствами неположительной кривизны. Исследования в этой области используют замечательную смесь анализа, топологии, метрической и дискретной геометрии.
Топологические методы в теории бифуркаций
Теория бифуркаций веками использовалась для объяснения различных явлений в естественных науках, когда физическая система зависит от параметра и меняет свое качественное поведение, как только параметр пересекает порог. Типичными примерами являются коробление стержня Эйлера в статике, появление вихрей Тейлора в гидродинамике, возникновение колебаний в электрической цепи в электротехнике, бромирование малоновой кислоты в химии.
Топологические методы применялись в теории бифуркаций с самого начала ее систематического изучения и часто выявляли удивительные границы между анализом и топологией.
Нелинейные дифференциальные уравнения в геометрии
Многие задачи современной геометрии приводят к нелинейным дифференциальным уравнениям. Нелинейные уравнения обычно не могут быть решены в явном виде, но существование решений и их качественное поведение — волнующий вопрос, для решения которого на протяжении столетий разрабатывались мощные инструменты. Типичным примером является уравнение геодезической, представляющее собой обыкновенное дифференциальное уравнение, которое получается при поиске кратчайших путей между двумя точками в искривленном пространстве.
Теория операторов — важный раздел функционального анализа, изучающий линейные и нелинейные отображения между топологическими или нормированными векторными пространствами. Обычно основное внимание уделяется анализу спектра, собственных значений и собственных функций операторов.
Литература:
1. Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1986. — 744 c.
2. Бакушинский, А. Элементы высшей математики и численных методов / А. Бакушинский, В. Власов. — М.: Просвещение, 2014. — 336 c.
3. Босс, В. Лекции по математике. Том 1. Анализ. Учебное пособие / В. Босс. — М.: Либроком, 2016. — 216 c.
4. Воробьев, Н. Н. Теория рядов / Н. Н. Воробьев. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1986. — 408 c.
