Метод семиинвариантной функции

Как следует из

и

чтобы найти точность оптимальной в среднеквадратическом смысле оценки (ОСКСО) [1], нужно решить уравнение для апостериорной плотности

с начальным условием , подставить это решение в Γ(t) и произвести вычисления. Сделать это в общем виде практически невозможно, так как нужно решать оптимизационную задачу, что займет много времени, либо упрощать вид функций, но найти уравнение, которому удовлетворяет Γ(t) возможно. Одним из методов нахождения уравнения для Γ(t), исходя из (1), является метод семиинвариантной функции [6].

Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть — некоторая случайная величина с функцией плотности . Тогда функция

где — мнимая единица, называется характеристической функцией, а функция

семиинвариантной функцией распределения p(x). Величины

называются семиинвариантами k-го порядка и обладают тем свойством, что

Таким образом Γ(t) может быть найдена как второй семиинвариант апостериорного распределения

. (2)

Лемма 1:

Характеристическая функция

апостериорного распределения (2) удовлетворяет уравнению

где

Шумы и коррелируемые.

Воспользуемся формулой (1) ⇒

Берем преобразование Фурье от обеих частей:

слева:

справа:

Введем обозначения, пусть

,

,

,

.

Используя то, что операторы являются сопряженными, получаем, что

Найдем B аналогично тому, как искали A.

,

причем

Тогда В можно записать в виде:

.

Тогда для справедливо уравнение

где

Лемма доказана.

Лемма 2:

Семиинвариантная функция

апостериорного распределения (2) удовлетворяет уравнению

(5)

где C(t) — функция, не зависящая от . Шумы w(t) и v(t) некоррелируемые.

Стохастически дифференцируя (4) по формуле Ито получаем, что

(6)

где

.

При этом нужно иметь в виду, что в качестве стохастического процесса в формуле стохастического дифференцирования Ито здесь выступает процесс , а в качестве функции - функция

То подставляя (3) и (7) в (6), получаем после ряда алгебраических преобразований уравнение (5), где

Лемма доказана.

Литература:

1. Липцер Р. Ш. Статистика случайных процессов / Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. М.: Наука, 1974. — С. 695.
2. Демин Н. С. Теория оценивания и распознавания стохастических сигналов: Учебное пособие.- Томск: Томск. ун-т, 1983. — С. 109.
3. Демин Н. С. Фильтр Калмана- Бьюси для коррелированных непрерывно- дискретных наблюдений / Демин Н. С., Петров В. В. // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. — 1978. — № 5. — С. 14–19.
4. Kalman R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Journal of Basic Engineering. — 1960. — № 82. С. 35–45.
5. Калман Р. Е. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказания /Калман Р. Е., Бьюси Р. С. // Техническая механика. — 1961. № 1. — С. 123–141.
6. Пугачев В. С. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрации/ Пугачев В. С., Синицын И. Н. — М.: Наука, 1990. — С. 630.
7. Гихман И. И. Введение в теорию случайных процессов / Гихман И. И., Скороход А. В. — М.: Наука, 1977. — С. 568.
8. Гихман И. И. Стохастические дифференциальные уравнения / Гихман И. И., Скороход А. В. — Киев: Наукова думка, 1968. — С. 353.